拉普拉斯随笔

说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。

帕斯卡认识的朋友中有两个是赌徒。

1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？

这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4，赢了3局的拿这个钱的1／4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2，所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，当然，B就应该得1／4。

这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅累的分法是对的，他应得64个金币的，赌友应得64金币的。

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。

在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。

这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。

概率论现在已经成了数学的一个重要分支，在科学技术各领域里有着十分广泛的应用。

概率论进一步的发展

帕斯卡、费马和惠更斯以来，第一个对概率论给予认真注意的是雅各布·伯努利。他的《猜度术》一书，包含了大数律的叙述；棣莫弗最早使用正态分布曲线；拉格朗日的贡献在于误差理论。

不过，首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起，拉普拉斯发表了一系列重要著述，特别是1812年出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的'数学综合，叙述并证明了许多重要定理。拉普拉斯等人的著作还讨论了概率论对人口统计、保险事业、度量衡、天文学甚至某些法律问题的应用。概率论在十八世纪已远不再是只与赌博问题相联系的学科了。

概率论起源于15世纪中叶。尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动，然而概率论的产生，却肇事于所谓的“赌金分配问题”。1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书。书中叙述了这样的一个问题：在一场赌博中，某一方先胜6局便算赢家，那么，当甲方胜了4局，乙方性了3局的情况下，因出现意外，赌局被中断，无法继续，此时，赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是：应当按照4：3的比例把赌金分给双方。当时，许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理。

因为，已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金，而另一方则需要胜3局，并且只少有2局必须连胜，这样要困难得多。但是，人们又找不到更好的解决方法。在这以后100多年中，先后有多位数学家研究过这个问题，但均未得到过正确的答案。

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”，引起了这位法国天才数学家的兴趣，并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信，他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题。

费马的解法是，如果继续赌局，最多只要再赌4轮便可决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜，那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。

甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方胜乙方胜

在这16种排列中，当甲出现2次或2次以上时，甲方获胜，这种情况共有11种；当乙出现3次或3次以上时，乙方胜出，这种情况共有5种。因此，赌金应当按11：5比例分配。

帕斯卡解决这个问题则利用了他的“算术三角形”，欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”。

早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。

巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？

是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？

这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3／4，赢了3局的拿这个钱的1／4。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1／2，所以，他拿的钱应该是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，当然，B就应该得1／4。

通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念—————数学期望。

在上述问题中，数学期望是一个平均值，就是对将来不确定的钱今天应该怎么算，这就要用A赢输的概率1／2去乘上他可能得到的钱，再把它们加起来。

概率论从此就发展起来，今天已经成为应用非常广泛的一门学科。

物理学上有四大神兽，薛定谔的猫，芝诺的乌龟，麦克斯韦的妖精和拉普拉斯妖。这四大神兽都是难以理解，且有着深刻内涵的假设。其中拉普拉斯妖是一种关于宇宙学说的科学假设。

拉普拉斯妖是在1814年由法国的一名数学家名为皮耶尔·西蒙·拉普拉斯的人提出的。拉普拉斯在青年的时候就已经在数学方面显示出他的天赋，18岁时就去了巴黎从事数学工作。当时想向法国的知名学者达朗贝尔求教，但是被拒绝了。之后，他向达朗贝尔寄出了一封力学论文，被达朗贝尔所认同。

后来，拉普拉斯在法国科学院里担任院士，研究出一系列关于天体学的问题，在研究这些问题的时候他创造了一些数学方法，像是以他的名字命名的拉普拉斯变换，拉普拉斯定理以及拉普拉斯方程。这些方法在科学界的很多技术方面得到了应用。

拉普拉斯妖出现的这个假设的大致意思就是：把宇宙现在的状态视为未来的因和过去的果，那么如果有一名智者能够知道宇宙过去得到的这些结果的公式，包括宇宙里最大的物体和最小的粒子运动的一条简单公式，那么这个智者根据这些进行数据分析，就能够推测出未来的因。这个智者就指的拉普拉斯妖。

但是拉普拉斯提出的这个假设是在十九世纪的时候，那时没有近代量子力学的出现，而近代量子力学的出现使得拉普拉斯妖的理论基础受到质疑和反驳。

从正则系综配分函数切换到微正则系综态密度或者说谱密度的时候，所用的是拉普拉斯逆变换；反之是拉普拉斯变换。其中核的指数上的复数也很好理解，它经常出现于统计力学中的Lee-Yang理论（由李政道和杨振宁于1952年通过两篇论文建立）：即复化之后的温度，化学势或者外磁场。

他们通过这种复化的方法推导出出了在热力学极限下，系统发生一级或者连续相变的条件（原文是对于自旋系统的）：就像复分析里的branchcut一样，Lee-Yang零点在复平面上聚集成一条线，只有取实数值的物理量在相变是跨过这条线，才会发生一级相变。这些零点解释了为什么一个明明是解析函数的配分函数在相变时却能导致发散的物理量，也给出了一个no-gotheorem：不取热力学极限就不会发生相变；至今这套理论还是研究传统非拓扑相变的利器。有人会说复的物理学量只是数学技巧罢了，但近来有实验表明我们是能观测到Lee-Yang零点的，参见ExperimentalDeterminationofDynamicalLee-YangZeros。跑偏一点，这套理论还衍生出Lee-Yangedge，即高于相变温度时，上述的Lee-Yang零点汇聚线终止于两个临界点，而用于描述该临界点附近复物理量的理论是一个centralcharge为的2维共形场论，叫非幺正minimalmodel。

因此拉普拉斯变换在研究3维纯量子引力（不含费米物质）特别是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相变的时候，经常出现在半经典近似中，因为如果假设AdS/CFT成立，复化的热力学量既属于二维渐进边界上的引力边界条件，也是边界二维共形场论的参数。