一、 知识结构框图：
数
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：
解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：x?0?z，xy?0，且y?z?x， 那么x?z?y?z?x?y的值（ C ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以 x?z?y?z?x?y ?x?z?(y?z)?(x?y) ?0
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：x?3y，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6
若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6
（2）数轴上表示这两数的.点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程x?2008?2008?x 的解的个数是（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a??a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。
四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
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