1对高师学生数学任务框架和变易理论的认识
数学任务框架理论侧重于如何学，变易理论侧重于学什么，两种理论的有效结合，能够最大程度地提高学生的数学思维水平，因为这两种理论都聚焦于学生的学习效果及其原因分析，并关注一般思维方法和有意义的学习．三种学习内容(即预设的、实施的和实际的)之间的差别为我们提供了将教学(由教师预设和实施)与学习(学生实际学到的)联系起来的一个平台．一方面，变易理论为教学设计分析提供工具和素材(各活动阶段的数学任务及其实施情况)，任务框架理论为教学设计分析提供操作指南和方法;另一方面，数学任务框架理论为变易教学设计提供理论分析，变易教学设计将数学任务框架的思想落到实处．两种理论能够有效整合怎样学(一般能力)和学什么(专项能力)，帮助学生掌握解决数学问题的一般思维方法，使发现活动真正落到实处．基于对教学设计、数学任务框架理论和变易理论的分析，可以帮助师范生理解好的数学教学设计的特征，以及好的数学教学设计的理论依据;下面重点解决如何构建数学教学设计的基本流程框架及相应策略等．
2高师学生数学教学设计基本框架的构建流程和策略
2．1了解学生的数学认知能力和思维方法
高师学生数学认知基础和思维方法是教学设计的前提，会影响任务活动或变易图式的多少和复杂程度．熟悉学生和自己对所学内容的理解差异，然后考虑设计教学，学生才有可能掌握预期的教学内容．对于师范生来说，不太熟悉中小学生的认知水平和思维方法．认知水平高低主要体现在能否解决复杂的、非算法化的问题，思维方法主要体现在解决复杂的、非算法化问题的策略多样性和优化程度．认知能力和思维方法决定学生平时学习方式是下位学习还是上位学习，数学思想、数学方法和算法技术是解决问题的关键要素．提高学生数学认知能力和思维方法有一些基本策略:预习和复习时多设计情景型、开放型和应用型问题，避免直接让学生预习新课内容，简单直接接触数学结论，导致不能完全经历再发现的过程;设计多层次水平的问题和变式练习;先形成概念性和策略性知识后经历算法过程;分析代数内容的几何意义;多介绍和运用科学思维方法，将教材中数学思想方法显现化，积累基本思想方法和分析步骤等．
2．2辨析学习内容的关键特征
找出学习内容的关键特征是学生真正理解所学对象内涵的重要基础，是达到预期学习目标的关键所在，我们在平时教学设计时，总发现学生不能以期望的方式学习，达不到预期的学习目标，很大的原因就在于学生没有经历关键特征的认识过程．由于我们自己具备成熟的知识体系而忽略提炼关键特征，更是阻碍学生学习的重要因素，所以需要我们基于对学生和学习内容的理解，分辨出关键特征特别是出现理解困难的特征，并将这些关键特征在教学设计过程中显现出来．一般来说，找出学习内容的关键特征有以下方法:参考文献及教师之间的经验分享;访谈学生;设计分析性的前测、后测及仔细分析学生的答案;在课堂上细心聆听学生对学习内容的看法．下面结合典型的例子进行分析:“二元一次方程组”课题内容有四项关键特征:实际问题用方程来表示(方程思想和分类思想);理解两个二元一次方程的意义和解(形式化和函数思想);构建二元一次方程组(形式化思想);求二元一次方程组的公共数组(变元和定元转化思想)．我们师范生由于已经形成完整的方程知识体系，很难直接体会到初中学生学习过程中可能出现的种种难点，导致初中生不能达到教学设计的预期要求，需要我们在平时的教学过程中多加分析．
2．3分析数学任务的情境与预设
情境教学能够很好地体现新课标的基本理念，适切的问题情境能够帮助学生迅速进入学习氛围，特别是有效贯穿整节课的情境，能够帮助学生充分认识到学习具体数学内容的必要性和意义．通过情境的设置，学生应能够从情境中提炼出数学问题，产生数学认知冲突．如何解决这些问题是接下来设计的关键，应该说大部分中小学生并不能独立解决这些问题，预设的教学任务无法直接实现，可以根据任务的难度和学生的认知水平，在不改变任务认知要求的'前提下，进行任务的分解和综合，构建变易图式，逐步发现数学内容的关键特征，促进教学预设和生成的一致性．在“二元一次方程组”教学情境创设中，大多数教师创设的情境会引导学生列出两个一元二次方程，这样既不利于引导学生理解两个一元二次方程之间的关系;也不利于学生理解构建二元一次方程组的必要性，以及对其解的唯一性意义的理解．在情境创设中，可以用一根32厘米长的铁丝，在围正方形和长方形的类比过程中，逐渐体会出方程组的形成思想．开放性问题的设置不仅能够激发学生的求知欲，而且通过该开放性问题让学生真正感受到二元一次方程组形成的必要性，帮助学生经历科学思维的完整过程．
2．4数学任务的组织与实施
确定了数学任务及其配套的教学情境之后，接下来关键是引导学生自主发现学习内容的关键特征，但学生最终学习效果会受到许多因素的影响，甚至有可能达不到我们的预设要求，这时需要我们保持任务认知要求的前提下，通过分析综合法，设计出辅助问题、引导问题、平行问题等变易图式，经历对照、区分、类合、融合四个阶段，实现数学问题的有效表征，任务的改变引起学习内容的可变性，发现解决问题的一般过程，协作性活动和学生思考相结合才有效果．在认识函数概念的教学组织中，为了加深学生对函数符号的理解，区分代数式(符号代表数)、方程(符号代表未知数)和函数(符号代表变数)，可以设计求长方形周长的三个辅助问题，已知长和宽分别为a和b，求周长计算公式;已知周长和长，求宽的大小;已知长为定值，周长与宽的关系等．通过变易图式的设计，认识函数的关键特征，发现函数与代数式及方程之间的区别和联系，进一步结合数学史的相关知识，体会函数实质是几何的代数化．在数学任务组织和实施的过程中，课堂交流和应用是保持数学任务认知水平的两个重要因素．随着年龄的增长，数学课堂交流的差异性更为显著，一方面，部分学生主动交流的意愿降低;另一方面是优秀学生得到更多的展示机会，成绩一般的学生以接受信息为主，缺乏有意义的比较和优化，这在很大程度上取决于我们提供的问题和交流方式，富有层次性和灵活性的问题往往能激发学生的参与性．
2．5数学任务的认知要求分析
数学课堂教学实施之后，需要对自己的教学设计流程进行重新思考和梳理，我们可以围绕任务的三个阶段进行反思对比，即比较预设的教学内容、实施的教学内容和生成的教学内容之间的关系．首先，分析预设教学任务的认知要求，是属于高认知水平任务还是低认知水平任务，有没有将低水平任务转化为高水平任务的途径，例如将重视算法程序的获得转化为概念形成和算法程序相结合;将隐含的数学思想方法通过预设任务显性化;渗透一般科学思维的流程，重在整体思路和具体方法的获得，避免过多低水平任务的重复训练等．第二，尽管我们预设任务为高认知水平任务，但在教学任务实施过程中，由于多种因素的综合影响，预设的高水平任务同样也有可能被转化为低水平任务，我们需要分析保持或降低数学任务认知水平的原因，思考保持数学任务高认知水平的方法等．例如预设任务的类化、分解以及分析综合法的熟练运用，掌握基本的数学活动或数学实验的方法．最后，需要科学地测量和评价学生的学习效果，特别要注重数学活动能力和数学思维方法的考查，为学生能够长期进行下位学习奠定基础，避免同分不同质学生的混淆对待等．
3小结与反思
高师学生数学教学设计能力的培养观念需要转变和创新，训练流程的构建需要理论的指导和生成方法的检验．数学教学也是一门艺术，突破表面形式的模仿训练，体会数学思维价值在教学中的渗透，提高师范生数学教学素养．引入和实践具有可操作性指南的理论显得尤为关键，基于多年对数学任务框架理论和变易理论的研究，加上指导师范生的教学实践，厘清任务作为两种理论和数学教学设计的同一关键研究对象，构建师范生数学教学设计流程，在教学设计流程中保持任务的高认知要求，教学设计和教学评价在任务预设、组织和实施过程中处处对应，理会数学教学的艺术魅力．
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