数学均值不等式的证明方法

均值不等式是数学的公式，经常拿来证明一些题目的。下面就是本站小编给大家整理的均值不等式的证明内容，希望大家喜欢。

设a1,a2,是n个正实数，求证(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an).要简单的详细过程，谢谢!!!!

你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把

对n做反向数学归纳法

首先

归纳n=2^k的情况

k=1 。。。

k成立 k+1 。。。

这些都很简单的用a+b>=√(ab) 可以证明得到

关键是下面的反向数学归纳法

如果n成立 对n-1，

你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)

然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。

所以得证

=2^k中k是什么范围

k是正整数

第一步先去归纳2，4，8，16，32 ... 这种2的k次方的数

一般的.数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。

而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，

指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均”

我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。

请赐教!

sqrt{[(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}≥(a1+a2+)/n≥n次根号()≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证明：

(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)≥(a1+a2+)/n

两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)≥(a1+a2+)^2/n

(1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了：

柯西不等式变式：

a1^2/b1 + a2^2/b2 +^2/bn ≥(a1+a2+)^2/(b1+b2...+bn)

当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立

只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可

(2)柯西不等式

(a1^2 + a2^2 +^2)*(b1+b2...+bn)≥(a1b1+a2b2+)^2

[竞赛书上都有证明：空间向量法;二次函数法;是赫尔德不等式的特例]

2.(a1+a2+)/n≥n次根号()

(1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+)/n)≥f(x1)+f(x2)+...f(xn)

令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数[判断凸函数的方法是二阶导数<0,或从图象上直接观察]

nf((x1+x2+)/n)=nlg[(a1+a2+)/n]≥

f(x1)+f(x2)+...f(xn)=lga1+lga2+=lga1*

也即 lg[(a1+a2+)/n]≥1/n()=lg()^(1/n)=lgn次根号()

f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+)/n≥n次根号()

(2)原不等式即证：a1^n+a2^n+^n≥

先证明a^n+b^n≥a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))[同号]≥0

2*(a1^n+a2^n+^n)≥a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)^(n-1)a1+a1^a(n-1)an

=a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1))...

≥a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+...[重复操作n次]≥...≥

即a1^n+a2^n+^n≥

(3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n>1+nx这个不等式，不予介绍

3.n次根号()≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

原不等式即证：n次根号()*(1/a1+1/a2+..+1/an)≥n

左边=n次根号[^(n-1)]+n次根号+[(n-1)]+n次根号[^(n-1)]+...n次根号[a1a2a3...a(n-1)/an^(n-1)]

由2得 和≥n*n次根号(它们的积) 所以左边≥n*n次根号(1)=n

所以()≥n/(1/a1+1/a2+..+1/an)

证毕