如何把数学教学变得具体化

一、数形结合思想

数形结合是一种通过数与形的关系来表现一定的精确性和直观性的思想方法，它是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象。有些时候我们需要借助数的精确性来阐明形的某些属性，达到“以数解形”。比如有些图形比较简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。而有些时候我们我们往往需要借助形的直观性来阐明数之间的某种关系，达到“以形助数”。比如用图形来表示集合中的交集、补集和并集就比较直观明了。数形结合思想在高中的数学教材中一般用于解决一些集合当中的交并集等运算、函数问题中函数的性质的研究以及由此延伸的方程与不等式问题、线性规划问题、解析几何问题和立体几何问题。

“数”与“形”反映的是事物两个方面的属性，因此所谓数形结合其实主要是指数与形之间的一一对应关系。也就是把抽象的数字语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来通过“以数解形”和“以形助数”，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂的问题简单化，从而起到以繁化简，化抽象为具体的目的。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

二、分类讨论思想

分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某种标准进行分类，然后对每一类分别研究得出相应的结论，最后通过结论的综合从而达到解决问题的目的的一种数学思想。在高中的数学中我们常常会遇到结论不明确或题意中含参数和图形不明确时，我们往往需要进行分类讨论，这不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且还考查学生思维的深刻性。

通过分类讨论，我们可以把复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面，恰当的分类可避免丢值漏解问题出现，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。因此教师在对数学教学的具体化上应该教会学生在遇到问题对象不能统一研究时，要进行分类研究，用简单的思维方式来解决困难的问题。

一、故事引入从矛盾中找出错误之处，然后再对症下药

在学习分数乘法时，我曾用这样一个故事提出问题：妈妈共有12块糖，她给小明的是全部的1/3，给妹妹的是剩下的1/2，小明一听妈妈的分糖办法，就不高兴地对妹妹说：“你的是1/2，我的是1/3，给你的比我的多，妈妈真偏心。”妈妈偏心吗？我这么一问有些学生就说妈妈就是偏心，因为1/2>1/3，显然是给妹妹的多，这时一个学生说：“老师，他说的不对，他俩分到的糖块数是同样多的。”我一听很高兴，就让这个学生说一说他的思路，经他一说，一些不细心的学生知道为什么不能只比较两个分数的大小了。

分析：在这里，1/2和1/3对应的不是相同的单位“1”，也就是糖块不都是12块。小明的1/3对应的是12块，他分到了12×1/3=4（块）。妹妹的1/2对应的是12—4=8（块）。妹妹分到了（12—4）×1/2=4（块）。正确的解答应该是兄妹两人分到的糖块同样多。在找到矛盾症结后，让学生再用正确的思路说一说，避免他们以后一看两个分数，就直接比较它们的大小，而不分析实际情况这种错误再出现。

二、画线段图，让问题变得简单、巧妙

线段图不仅使人一目了然，更能使一些问题解决起来变得简单、巧妙。下面这道题是采用一般方法和画线段图两种方法的比较。 学校有三个课外小组，美术组有27人，体育组的人数是美术组的3倍，舞蹈组的人数是美术组的4倍，舞蹈组的人数比体育组多多少人？

分析：一般方法：先根据“美术组有27人”和“体育组的人数是美术组的3倍”这两个信息，求出体育组的人数为27×3=81（人）；再根据“美术组有27人”和“舞蹈组的人数是美术组的4倍”这两个信息，求出舞蹈组的人数为27×4=108（人），最后，根据体育组的81人和舞蹈组的108人求出舞蹈组的人数比体育组多108—81=27（人）。 画图法： 从图中可以清楚地看出，如果把美术组的27人看作一份，那么体育组的人数就是这样的3份，舞蹈组的人数就是这样的4份。体育组比舞蹈组多4—3=1份。因为1份是27人，所以舞蹈组比美术组多27人。

1、有效的导课方法使课堂教学事半功倍。

良好的开头预示着完美的结果，对于课堂来说也是如此，所以教师要将导课这一环节重视起来，将有效的教学方法贯穿在课堂的始终，争取将“龙头”“龙尾”相承一脉。在没进行新课教学之前，教师可以举一些实际的例子作为问题，让学生思考，引发学生的兴趣，让其被问题牵引，随着教师循序渐进地引导逐渐深入对课堂知识加以学习。比如，在进行点线面这一课堂知识的学习之前，教师可以问学生：用两个合页及一把门锁就能将一扇门固定在一个位置，我们没办法将其打开。

在提出问题的时候，教师可以在课堂上做具体的示范。一个问题的提出是远远不够的，教师要提出至少两个问题，提高课堂知识的厚重感。在这一实际问题中就包含了点线面这三方面的内容。学生对提出的问题的答案一知半解，这时教师要从这一问题中脱离，让学生通过接下来的学习，验证自己的答案正确与否。

2、通过生活实例对公理进行验证。

在进行概念的疏导之后，出现的公理才是教师需要引导学生去了解的，就以“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内”这一公理为例，它包含了点线面这三个因素，这三个因素之间的关系为“直线有无数点组成，这条直线在平面内，平面经过直线”。这个基本性质的来源是生活，教师可以让学生做实验将这一知识具体化，并通过具体的实验来验证公理的正确与否，比如这个公理，教师可以让学生将一把规则的直尺放到桌面上，并通过观察直尺与桌面间是否漏光来检验桌面的平整与否。如果不漏光，说明直尺作为一条线在平面上，而且直线上所有的点都在这一平面上，如果漏光，说明直线上并不是所有的点都在平面上，由此也可以说，直线不在平面内。

学生通过这种具体化的例证，更能较为明了地运用逻辑思维去了解学习抽象化的`知识。可以说，教师在方法上，将知识简单化，让学生更容易去接受。这样运用生活例证将抽象知识转化为具体知识的教学方法比教师用粉笔在黑板上绘图讲解更有效，它是新课标下所倡导的教学方法，对学生空间想象力、逻辑思维能力的培养更有效。

1、创设矛盾式问题情境，注重问题情境的发散性

良好的问题情境在于它能有效地引起学生认识的不平衡，使其产生矛盾心理。通过精心设计，巧妙揭露学生已有认知结构与数学知识结构之间的矛盾，进而去寻找解决问题的途径。通过制造矛盾打开学生的心扉，激发学生去思考，逐步引入佳境。如：在讲授“有理数乘法”时，先复习小学学过的正有理数的乘法：2+2+2=2×3，2×3就是3个2相加，接着提出问题：2×（-3）是什么意思呢？总不能说是负3个2相加吧？那又该如何理解呢？于是产生疑问，教师利用矛盾冲突，激发学生思考，逐步诱导。前面已学过可用正负数表示两个相反意义的量，在学有理数加法时是在数轴上进行的，如向东走5米再向西走3米，两次一共向东走2米，即5+（-3）=2，那么，有理数的乘法是否也能在数轴上进行呢？充分激发了学生的求知动机与欲望之后，教师开始讲援有理数的乘法。

人总是力图使自己的思想协调一致，不自相矛盾，当学生发现某种新知识与头脑中的已有知识矛盾时，就会产生“认识不平衡”，导致一种“紧张感”，从而产生消除这种紧张感的认知动机。紧张感得到消除，就会产生一种满足的情感体验，从而进一步强化认知动机。不仅如此，还可以使问题情境具有较好的发散性，即问题情境的设计能充分激发学生联想，扩展学生思路，激发学生的创造精神，如一题多解，一题多变等问题的设计都可以活跃学生的思维，使其产生多向联想。

2、创设形象化问题情境，注重问题情境的直观性

“直观是认识的途径，是照亮认识途径的光辉”。物体的直观形象本身，能长时间地吸引学生的注意力。直观性是一种发展注意力和思维的力量，能使认识带有情绪色彩。由于同时能看得见、听得着、感受得到并进行思考，在学生的意识中就形成了情感记忆。如果不形成发达的、丰富的情感记忆，就谈不上有充分的智力发展。所以，形象化的问题情境适合初中生思维形象具体的特点，易于引导学生的兴趣，愉悦学生的情绪，集中学生的注意力，从而激发学生学习的主动性和积极性。如讲授“数轴”时，就利用了温度计来导入新课，在讲授几何课时，更是充分利用了各种模型进行直观教学。创设形象化的问题情境，必须紧密联系学生的生活实际或者充分利用一些半具体半抽象的模型化了的数学材料，多角度、多方位、多形式地提供丰富表象。

在教学活动中，教师要认真仔细地钻研教学大纲，教材和教学参考书，把握知识分布点、教学重点和难点，了解学生的基础知识，在教学过程中的各个环节都可以创设问题情境，使学生整节课都处于问题情境之中，如一节课开始进，可通过情境设计，提示矛盾，导入新课；讲授新课中，进行情境设计，使矛盾逐步得到解决，巩固练习时，可通过情境设计，使问题不断深化，知识得到扩展和引伸，以创设良好的问题情境为教学的中心，用置疑，问难等灵活的探究方式充分调动学生思维的积极性，促进师生合作与教学合作，既发挥教师的主导作用，又充分调动学生的自主学习的积极性、创造性，激发学习的内在动力，使其学得更多、更快、更好。