奥数数论问题解析约数与倍数

已知x、y为正整数，且满足xy—（x+y）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y）（x≥y）

考点：约数与倍数。

分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）。解方程k（y—2）=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp。解方程abp—1=（a—1）（b—1）即可。解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）。

则由原方程，得

kyy—（ky+y）=2y+ky，

∵y≠0，

∴ky—（k+1）=2+k，

∴k（y—2）=3，

当k=1时，x=5，y=5;

当k=3时，x=9，y=3;

②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式

得：abp2—（ap+bp）=2p+abp，即abp—1=（a—1）（b+1）

当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;

当p>1时，abp≥2ab—1=ab+（ab—1）≥ab>（a—1）（b—1）

此时，abp—1=（a—1）（b+1）不满足条件;

综上所述，满足条件的数对有

　　点评：

本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数。由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的`积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。