数学必修四第二章公式知识点

在平时的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编整理的数学必修四第二章公式知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向;

当λ<0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣.

向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'.

向量的数量积的运算律

a?b=b?a(交换律);

(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);

(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

向量的数量积的`性质

a?a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a?b=0.

|a?b|≤|a|?|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a?b|≠|a|?|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作axb.若a、b不共线,则axb的模是：∣axb∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;axb的方向是：垂直于a和b,且a、b和axb按这个次序构成右手系.若a、b共线,则axb=0.

向量的向量积性质：

∣axb∣是以a和b为边的平行四边形面积.

axa=0.

a‖b〈=〉axb=0.

向量的向量积运算律

axb=-bxa;

(λa)xb=λ(axb)=ax(λb);

(a+b)xc=axc+bxc.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的

6、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;

② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;

② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.

7、定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

8、三点共线定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是a?b=0。

a⊥b的充要条件是x x'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.