一、选择题（每题3分，共18分）
1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A． （x+3）（x﹣4） B． （x﹣3）（x+4） C． （x﹣3）（x﹣4） D． （x+3）（x+4）
2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 锐角三角形
4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ ）
A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m
5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
A． B． 2 C． 2 D． 1
二、填空题（每题3分，共30分）
7．一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积约为 m2．
8．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
9．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则x= ．
10．已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为 ．
11．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，则实数a的范围为 ．
12．无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围为 ．
13．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则tan = ．
15．在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有 条．
16．如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2APPB；④S△AOB=3S△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共102分）
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
18．计算下列各题：
（1） sin6 0°﹣tan30°cos60°；
（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣ ）0﹣tan60°．
19．先化简，再求值： ，其中a满足方程a2+4a+1=0．
20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
21．某 工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品 ．问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件？
22．如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．
23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．
（1）若n=1，则 = ， = ；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE；
（3）当n= 时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．
2014-2015学年江苏省泰州市靖江市靖城中学共同体九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共18分）
1．一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A． （x+3）（x﹣4） B． （x﹣3）（x+4） C． （x﹣3）（x﹣4） D． （x+3）（x+4）
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 压轴题．
分析： 只有把等号左边的二次三项式分解为（x﹣x1）（x﹣x2），它的根才可能是x1，x2．
解答： 解：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，
那么倒数第二步为：（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x2+px+q=（x﹣3）（x﹣4），故选C．
点评： 用到的知识点为：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为（x﹣x1）（x﹣x2）=0．
2．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（ ）
A． B． C． D．
考点： 比例的性质．
分析： 首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2．
解答： 解：∵x：（x+y）=3：5，
∴5x=3x+3y，
2x=3y，
∴x：y=3：2= ，
故选：D．
点评： 此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．
3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 锐角三角形
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 先根据△ABC中，tanA=1，cosB= 求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解答： 解：∵△ABC中，tanA=1，cosB= ，
∴∠A=90°，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选C．
点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
4．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ ）
A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m
考点： 相似三角形的应用．
分析： 根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．
解答： 解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：
= ，
解得x=2.2，
2.2﹣1.7=0.5m，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．
故选：A．
点评： 本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．
5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 增长率问题．
分析： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
解答： 解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（ ）
A． B． 2 C． 2 D． 1
考点： 正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可．
解答： 解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8﹣4=4，
∴GT= ×4=2 ．
故选B．
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1：2000缩小后，其面积约为 0.2 m2．
考点： 比例线段．
专题： 应用题．
分析： 根据相似多边形面积的比是相似比的平方，列比例式求得图上面积．
解答： 解：设其缩小后的面积为xm2，
则x：800000=（1：200 0）2，
解得x=0.2m2．
∴其面积约为0.2m2．
点评： 注意相似多边形的面积的比是相似比的平方．
8．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 2008 ．
考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
分析： 根据根与系数的关系，可先求出a+b的值，然后代入所求代数式，又因为a是方程x2+x﹣2009=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代数式可求值．
解答： 解：根据题意得a+b=﹣1，ab=﹣2009，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，
又∵a是x2+x﹣2009=0的根，
∴a2+a﹣2009=0，
∴a2+a=2009，
∴a2+2a+b=2009﹣1=2008．
点评： 根据根与系数的关系、以及方程根的定义可求此题．
9．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则x= 5 ．
考点： 同类二次根式．
专题： 计算题．
分析： 根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于x的方程，解出即可．
解答： 解：由题意得：x2﹣4x=10﹣x，
解得：x=5或x=﹣2，
当x=﹣2是不满足为最简二次根式，故舍去．
故答案为：5．
点评： 本题考查同类二次根式的知识，难度不大，注意求出x之后检验是否满足题意．
10．（ 3分）（2011白下区二模）已知：如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
考点： 位似变换．
分析： E（﹣4，2）以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以 或﹣ ，因而得到的点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．
解答： 解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以 或﹣ ，
所以点E′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）．
点评： 关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要记忆的内容．
11．关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，则实数a的范围为 a≤ 且a≠6 ．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义，得出a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，求出不等式组的解集即可得到实数a的范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根，
∴a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，
解得a≤ 且a≠6．
故答案为：a≤ 且a≠6．
点评： 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的定义．
12． 无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围为 m≥9 ．
考点： 二次根式有意义的条件；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
专题： 压轴题．
分析： 二次根式的被开方数是非负数，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通过偶次方（x﹣3）2是非负数可求得9﹣m≤0，则易求m的取值范围．
解答： 解：由题意，得
x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，
∵（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+ m恒大于等于0，
∴m﹣9≥0，
∴m≥9，
故答案为：m≥9．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．
考点： 解直角三角形；特殊角的三角函数值．
分析： 重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．
解答： 解：∵AC= ，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1= ．
故答案为： ．
点评： 本题问题中，巧妙的运用三角函数求边长是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则tan = ．
考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 先根据题意画出图形，由特殊角的三角函数值求出∠A的度数，再求则tan 的值即可．
解答： 解：如图所示，AB=2，BC= ，
∴sinA= = ，
∴∠A=60°．
∴tan =tan30°= ．
点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟知特殊角的三角函数值，根据数形结合解答．
15．在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有 4 条．
考点： 相似三角形的.判定．
分析： 过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
解答： 解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC=∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
点评： 本题主要考查相似三角形的判定，用到的知识点：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两个角对应相等的两个三角形相似．
16．如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2APPB；④S△AOB=3S△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．
其中正确结论的序号是 ③④ ．
考点： 一次函数综合题．
分析： ①由两条垂直直线的斜率的积等于﹣1即可判定①∠AOB=90°故选项错误；
②根据等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故选项错误；
③由直线的斜率可知 = ， =1，根据2（ ）= ，即可求得OP2=2APPB，故选项正确；
④设A（m， m），则B（m，﹣m），得出△AOP的面积= OP m= mOP，△BOP的面积= OPm= OP，从而求得S△BOP=2S△AOP，进而得出S△AOB=3S△AOP，故选项正确；
⑤t=2时根据直线的解析式先求得PA=1、PB=2，进而求得AB=3，所以正方形的周长=12，故选项错误；
解答： 解：①由直线y= x，直线y=﹣x可知，它们的斜率的积=﹣ ≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误；
②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；
③由直线的斜率可知： = ， =1，
∴2（ ）= ，
∴OP2=2APPB，故OP2=2APPB正确；
④设A（m， m），则B（m，﹣m），
∵△AOP的面积= OP m= mOP，△BOP的面积= OPm= OP，
∴S△BOP=2S△AOP，
∴S△AOB=3S△AOP，
故S△AOB=3S△AOP正确；
⑤t=2时，PA= ×2=1，
PB=|﹣1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误；
故答案为③④．
点评： 本题考查了 直线斜率的特点，等腰三角形的判定，直角三角函数的意义，三角形的面积的求法，正方形的周长等，③OP2=2APPB的求得是本题的难点．
三、解答题（共102分）
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
考点： 解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）先移项，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后根据直接开平方解可以求解了．
（2）将原方程转化为一般形式，再求出a、b、c的值，最后代入求根求解就可以了．
解答： 解：（1）移项，得
x2﹣6x=18，
在方程两边同时加上9，得
x2﹣6x+9=18+9，
左边配方，得
（x﹣3）2=27，
解得x﹣3= ，
∴x1=3 +3，x2=﹣3 +3
（2）原方程变形为：
3x2+10x+5=0
∴a=3，b=10，c=5，
∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，
∴x= ，
∴x1= ，x2= ．
点评： 本题是一道一元二次方程的解答题，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法．
18．计算下列各题：
（1） sin60°﹣tan30°cos60°；
（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣ ）0﹣tan60°．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： （1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）分别进行绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并．
解答： 解：（1）原式= ﹣ ×
= ﹣ ；
（2）原式= + + ﹣
=1．
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了绝对值的化简、负整数指数幂、零指数幂等知识，属于基础题．
19．先化简，再求值： ，其中a满足方程a2+4a+1=0．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值．
解答： 解：原式=
=
=
= = ，（6分）
∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，
∴原式= ．（10分）
点评： 此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算．分式的化简求值题，应先对原式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些运算，然后观察能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后再代值计算．
20．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
考点： 相似三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： 如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．
解答： 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴ ，
即 ，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．
点评： 解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．
21．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．问应增加多少台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件？
考点： 一元二次方程的应用．
分析： 设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量达到30976顶，由于现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批 同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品，由此即可列出方程解决问题．
解答： 解：设增加x台机器，
依题意得（80+x）（384﹣4x）=30976，
解得x1=x2=8．
答：应增加8台机器，才可以使每天的生产总量达到30976件．
点评： 考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，然后把握增加1台机器，平均每台每天将少生产4件产品就可以列出方程就问题．
22．如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 应用题．
分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．
解答： 解：作BE⊥CD于E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
则有CE=AB=16，AC=BE．
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC．
∵16+DE=DC，
∴16+AC= AC，
解得：AC=8 +8=DE．
所以塔CD的高度为（8 +24）米．
点评： 本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
23．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： （1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让﹣ =0即可求得k的值．
（3）分b=c，b=a两种情况做．
解答： 证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣ ）=（2k﹣3）2≥0，
∴方程总有实根；
解：（2）∵两实数根互为相反数，
∴x1+x2=2k+1=0，
解得k=﹣0.5；
（3）①当b=c时，则△=0，
即（2k﹣3）2=0，
∴k= ，
方程可化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不适合题意舍去；
②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，
∴k= ，
方程化为x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∴c=2，
C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．
点评： 一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求 的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；直角梯形；锐角三角函数的定义．
专题： 几何综合题．
分析： （1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC；
（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值．
解答： （1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF= AB，
而CD∥AB，CD= AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；
（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ；
（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴ = = ，即EG= CD，
同理FH= CD，
∴ = = ．
点评： 本题综合考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，锐角三角函数定义的运用．关键是由全等、相似得出相关线段之间的位置关系，数量关系．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
考点： 相似形综合题．
专题： 压轴题．
分析： 根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
解答： 解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得 =5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t= ；
②当△APM∽△ABC时， = ，即 = ，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t= 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴PH= t，
∴S=S△ABC﹣S△BPN，
= ×3×4﹣ ×（3﹣t） t，
= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）．
∵ ＞0，
∴S有最小值．
当t= 时，S最小值= ．
答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 ．
点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．
26 ．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．
（1）若n=1，则 = ， = ；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE；
（3）当n= 时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．
考点： 正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： （1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．
（2）同（1）解法．
（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．
解答： 解：（1）延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，
∴PE= n，
∴AP：PE=3：5，
∴ = ， = ；
（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HD P， ，
设AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH= ，
∴PE= ，
∴ = ，
∴8AP=3PE；
（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF= AD= AB，BF= AB，
∴BF= AF，
∴n= ．
点评： 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键．
书香门第
