关于有效积累与运用个人数学资料的方法

善于有效地积累和运用个人数学资料进行学习，就好比掌握了独立获取数学知识的金钥匙．下面整理了如何有效地积累与运用个人数学资料的讨论稿，供同学们学习时参考．

一、积累与完善个人数学资料，使知识系统化

“个人数学资料”是指学生数学学习过程中课堂记录、复习小结、课外学习资料摘抄等学习笔记，练习、作业、测试卷、错解笔记、考试小结、小论文和学习心得等对数学学习有指导作用的数学资料．在平时学习中要随时注意将所学的知识在头脑中形成一定的体系，成为知识总体中的有机组成部分，并及时整理．随时把概念的形成与知识系统化有机联系起来，加强知识内部和相互之间各部分学习的基础，更要重视和做好从已知到未知，新旧联系的系统化工作，有意识地作好总结工作，使所学知识先成为小系统、后成为大结构，从而达到系统化的要求．完善个人数学资料的过程中要做到“不怕做不到，就怕想不到，平时的学习中要有完善总结意识”．

二、要有意识地、有针对性地去查找个人数学资料

1．在学习某一部分的知识点时，查阅资料需注意知识的产生发展的过程，不能只重记住结论而忽视其过程，如直线的方程、椭圆与双曲线的焦半径公式，若只记结论，则很容易在应用时搞混淆．故查找资料要针对知识产生的过程作重点学习．

2．当新旧知识间发生冲突或互相抵制时，要查找资料，将新旧知识的概念作具体的分析，探索它们的区别与联系，当学习时感到迷惑时，就要立即回到课本或笔记中去找出老师在讲解这部分知识时是如何分析与突破的，将概念及数学思想理解到位．

3．有效地学习离不开对资料的应用及挖掘，因此要有目的、有计划的查找资料，首先要制订查找计划，初始阶段可每周制订一个探究性问题去研究，列出标题，如:均值不等式的应用、直线与圆的位置关系、焦点三角形公式及应用、离心率的求法等等．也可以以文学作品形式写出，如谁丢了等号、第二次出击、椭圆的历史等等，实践证明，这一形式的查找资料不仅能提高学习兴趣，而且对学习的帮助很大．

一、重点、查缺补漏。对前几次各区模拟分类梳理、整合，既可按分类，也可按思想分类。强化联系、形成网络结构，以少胜多，以不变应万变。

二、查找错题，分析病因，对症下药。查错题，分析病因，对症下药，这是重点。

三、阅读《说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点 。

四、注意基础复习。回归课本、回归基础、回归近年数学试题，把握通性通法 。

五、重视书写表达的规范性和简洁性 。重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对、对而不全”现象的出现，力争既对又全。

六、不要做难题 。临考前应做一定量中、低档题，以达到熟练基本方法、典型问题的目的,高中政治，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的解题状态。

同学们初学不等式，尤其在利用不等式的性质解题时，一定要注意不等式成立的前提条件，否则极易出现解题错误。现举例剖析如下：

例1. 若 < style='width:136.5pt; > 求 的范围。

错解：由题设，得

即< style='width:79.5pt;> 。

剖析：上述解法是错误的，如

又

故

例2. 如果 的取值范围。

错解：由 。

剖析：仔细观察不难发现上述解法是错误的，因为 ，结果矛盾。这是由于在由y推出 的范围时，不等号的方向已发生了改变，而在解题中忽略了这一点。

正解：由 ，得 。 （1）

又 （2）

由（1）、（2）两式相乘得

评注：两个不等式两边不能直接相除 高中历史，若要求两数商的范围，只能通过转化为同向正向不等式相乘的求得，即必须准确运用不等式性质。

例3. 解不等式组 ，即 不等价，性质 是 ，由（2）得

例4. 解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

错解：（1）由 ，得

（2）两边平方得

（3）两边约去因式“

（4）“交叉相乘”得 ，即

故原不等式的解集为

（2）注意到

故原不等式的解集为 时

两边同除以

故 ，得

故 。

所以原不等式的解集为

（4）当 时， ，即

故解集为

例5. 设 ，求

故

剖析：其错误原因出在多次运用不等式的性质时，其等号成立的条件不同，造成积累误差，结果使取值范围扩大。为了避免这类错误，必须：

（1）看几次等号成立的条件是否相同；

（2）尽可能多的用等式，减少不等式计算的次数。

正解：由

故

得

一、《集合与函数》

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；

正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集 高中地理，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；

求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

二、《三角函数》

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；

中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；

三、《不等式》

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与０比大小，作商和１争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

四、《数列》

等差等比两数列，通项公式Ｎ项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从Ｋ向着K加１，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

五、《复数》

虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有ｉ多项式运算。ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

七、《立体几何》

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

八、《平面解析几何》

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

一、改进，要有一个良好的习惯

良好的是长期、系统积累的过程，一个人只有不断地接受新，不断地产生疑问，不断地总结，才能不断地提高。应通过与、同学平时的交流，逐步地总结出一般性的学习规律，包括：制定计划、课前、专心上课、及时、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面，简单概括为四个环节(、上课、整理、作业)和一个步骤(总结)。每一个环节都有较深刻的内容，带有较强的目的性、针对性，要落实到位。

在上应注意培养的好习惯。听是主要的，把老师讲的`关键部分听懂，而且重点听老师对问题的分析过程，听的时候注意思考，分析问题，但是光听不记或光记不听，必然会顾此失彼，因此适当的记笔记，领会老师课上的意图和精神。在、课外练习中应注意培养写作业的习惯，作业不仅要书写工整，而且还要有条理，这样可以培养逻辑。同时作业必须独立完成，培养一种独立思考的好习惯

二、提高课堂的四点建议

1.了解知识的形成过程理解其内涵，切忌死记硬背。

的概念、定义、公式、定理等都是的基础，这些知识的形成过程容易被忽视。事实上，这些知识的形成过程正是能力的培养过程。一个定理的证明，往往是新知识的发现过程，在掌握知识的过程中，促进了能力的发展。如反函数概念如何形成?构造性的定义给出了求反函数的方法和步骤及互为反函数其图象的对称关系。

2.有问题及时问，并做总结和记录

在课堂上，老师都会提问，有时还伴随着问题的讨论，对于典型问题，带有普遍性的问题必须及时解决，不能把问题遗留下来，甚至积累下来，发现问题应及时解决，遗留问题要及时解决。

3.学会总结技巧方法能够形成自己的解题思路

要合理选择简捷的运算途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的需要，运算的步骤越大，出错的可能性也就越大。因而根据问题的条件和要求，合理地选择简捷的运算途径，不但是提高运算能力的关键，也是提高其它数学能力的有效途径。如给定两个集合如何构成映射，能构成多少个映射?如何构成函数，能构成多少个函数等。

4.平时勤思考多锻炼自己的

学会把抽象思维形象化具体化是数学学习的一个能力。数学学科担负着培养运算能力、逻辑、空间能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任，它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的应用性，对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断应用中才能得到培养和提高。

三、学会数学复习的归纳总结

1.重视基础

重视基本概念、基本理论，并强化;“举一反三，触类旁通”，对典型例题重点掌握，揣摩命题者的意图，归纳全面的解题方法。只有积累一定的典型习题才能保证解题方法的准确性、简捷性和完备性;认真做好练习题，采用循环交替、螺旋式推进的方法，避免出现对基本知识、基本方法遗忘的现象。

2.从宏观把握知识整体

认识课本知识间的横向联系，了解各部分内容在中所占的分值、地位和难易程度，有针对性地复习、梳理重点内容，突破自己的薄弱环节，力求从宏观上把握数学的知识体系，建立自己的解题方法体系和思维体系。

3 高中生物.掌握高中常用的数学思想方法

学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用于解题的具体操作性的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等;第二类则是用于指导解题的逻辑性的方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等;第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其它问题的解决都具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等。复习中要关注它们的应用，形成学以致用的习惯。

4.进行解题后的再思考

多思考自己的不足，为什么初次解题时没有想到。差在哪，并作深刻总结而且要做记录解题后，要思考题中易混易错的地方，总结经验，提高辨析错误的能力。

5.错题本的存在

分清错误的原因：概念模糊、粗心大意、顾此失彼、图形画错、思路问题等等，要注意对错题的分析讲解，该题的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、规范步骤及小结的讲解等等，并在错题的一边注释解题过程，找出做题时障碍产生的原因及根源的分析。整理错题集时，一定要有恒心和毅力，而且要多看多回顾多复习。不要在乎时间的多少，对于相关知识点的整理与总结，虽然繁杂，但其作用决不仅仅是明白了一道错题怎样求解这么简单，更重要的是通过整理错题本，你将学会如何学数学、如何研究数学，避免在以后的学习中出现类似的错误。

　第一：函数与方程思想

（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用

（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查

　第二：数形结合思想

（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系

在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系

数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化

第三：分类与整合思想

（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法

（2）从具体出发，选取适当的分类标准

（3）划分只是手段，分类研究才是目的

（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

第四：化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题

（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化

　第五： 特殊与一般思想

（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识

（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程

（4） 构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

（5） 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向

第六：有限与无限的思想：

（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路

（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向

（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用

（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查

　　第七：或然与必然的思想：

（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性

（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然

（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 。