数学考试其实并不难,只要多做一些数学模拟试卷就可以把数学成绩提上去,以下是本站小编为你整理的2018届江苏省四市高三数学模拟试卷,希望能帮到你。
2018届江苏省四市高三数学模拟试卷题目一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合 , ,则集合 中元素的个数为 ▲ .
2.设 , ( 为虚数单位),则 的值为 ▲ .
3.在平面直角坐标系 中,双曲线 的离心率是 ▲ .
4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.
将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是 ▲ .
5.如图是一个算法的流程图,则输出的 的值为 ▲ .
6.已知一组数据 , , , , ,则该组数据的方差是 ▲ .
7.已知实数 , 满足 则 的取值范围是 ▲ .
8.若函数 的图象过点 ,
则函数 在 上的单调减区间是 ▲ .
9.在公比为 且各项均为正数的等比数列 中, 为 的前 项和.若 ,且 ,则 的值为 ▲ .
10.如图,在正三棱柱 中,已知 ,点 在棱 上,则三棱锥 的体积为 ▲ .
11.如图,已知正方形 的边长为 , 平行于 轴,顶点 , 和 分别在函数 , 和 ( )的图象上,则实数 的值为 ▲ .
12.已知对于任意的 ,都有 ,则实数 的取值范围是 ▲ .
13.在平面直角坐标系 中,圆 .若圆 存在以 为中点的弦 ,且 ,则实数 的取值范围是 ▲ .
14.已知 三个内角 , , 的对应边分别为 , , ,且 , .当 取得最大值时, 的值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在 中,已知点 在边 上, , , , .
(1)求 的值;
(2)求 的长.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥 中,底面 是矩形,点 在棱 上(异于点 , ),平面 与棱 交于点 .
(1)求证: ;
(2)若平面 平面 ,求证: .
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的左、右顶点分别为 , ,过右焦点 的直线 与椭圆 交于 , 两点(点 在 轴上方).
(1)若 ,求直线 的方程;
(2)设直线 , 的斜率分别为 , .是否存在常数 ,使得 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分16分)
某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆 的圆心与矩形 对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切( 为上切点),与左右两边相交( , 为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,且 .设 ,透光区域的面积为 .
(1)求 关于 的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值
越大越好.当该比值最大时,求边 的长度.
19.(本小题满分16分)
已知两个无穷数列 和 的前 项和分别为 , , , ,对任意的 ,都有 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 为等差数列,对任意的 ,都有 .证明: ;
(3)若 为等比数列, , ,求满足 的 值.
20.(本小题满分16分)
已知函数 , .
(1)当 时,求函数 的单调增区间;
(2)设函数 , .若函数 的最小值是 ,
求 的值;
(3)若函数 , 的定义域都是 ,对于函数 的图象上的任意一点 ,在函数 的图象上都存在一点 ,使得 ,其中 是自然对数的底数, 为坐标原点.求 的取值范围.
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数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,圆 的弦 , 交于点 ,且 为弧 的中点,点 在弧 上.若 ,求 的度数.
B.[选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 ,若 ,求矩阵 的特征值.
C.[选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知点 ,点 在直线 上.当线段 最短时,求点 的极坐标.
D.[选修45:不等式选讲](本小题满分10分)
已知 , , 为正实数,且 .求证: .
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系 中,点 ,直线 与动直线 的交点为 ,线段 的中垂线与动直线 的交点为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程;
(2)过动点 作曲线 的'两条切线,切点分别为 , ,求证: 的大小为定值.
23.(本小题满分10分)
已知集合 ,对于集合 的两个非空子集 , ,若 ,则称 为集合 的一组“互斥子集”.记集合 的所有“互斥子集”的组数为 (视 与 为同一组“互斥子集”).
(1)写出 , , 的值;
2018届江苏省四市高三数学模拟试卷答案一、填空题
1. 2.1 3. 4. 5. 6. (或 )
7. (或 ) 8. (或 ) 9. 10.
11. 12. (或 ) 13. (或 ) 14.
注意:填空题第6、7、8、12、13均提供两种书写方法,都算正确,不要扣分。其他写法均判为0分。
二、解答题
15.(1)在 中, , ,
所以 .……………………………………2分
同理可得, . …………………………………………………4分
所以
………………………………6分
.……………………………………………8分
(2)在 中,由正弦定理得, .……10分
又 ,所以 . ………………………………………12分
在 中,由余弦定理得,
. ………………………………14分
注意:第15(1)题时,严格按照逻辑段给分,譬如
要先代入公式,再代入数字运算,不写公式扣1分。15(2)要先把正弦定理和余弦定理公式写出来,再代入数字运算,不写公式扣1分。
16.(1)因为 是矩形,所以 .…………………………………………2分
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .…………………………………………………………4分
又因为 平面 ,平面 平面 ,
所以 .…………………………………………………………………6分
(2)因为 是矩形,所以 . ………………………………………8分
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 . …………………………………10分
又 平面 ,所以 . ………………………………………12分
又由(1)知 ,所以 . ……………………………………14分
注意:16(1)严格按照逻辑段给分,使用线面平行判定定理与性质定理时,缺少任何一个条件,该逻辑段分数全部扣除。16(2)使用面面垂直性质定理时,缺少任何一个条件,该逻辑段分数全部扣除;证明线线垂直时,只能使用“在两条平行线中,一条垂直于已知直线,则另一条也垂直于该直线”,使用其他方法,该逻辑段分数均扣除。这道题考查知识点较为冷门,绝不要姑息迁就,给学生提个醒。
17.(1)因为 , ,所以 ,所以 的坐标为 ,……1分
设 , ,直线 的方程为 ,
代入椭圆方程,得 ,
则 , . …………………………4分
若 ,则 ,
解得 ,故直线 的方程为 .……………………6分
(2)由(1)知, , ,
所以 ,…………………………………………8分
所以 ………………………………………12分
,
故存在常数 ,使得 .…………………………………………14分
注意:第17(1)中设直线 的方程为 ,利用 ,技巧性较高,常规的设法,要对照给分。第17(2)中,没有利用 ,直接代入 ,运算结果正确也可以。
18.(1)过点 作 于点 ,则 ,
所以 ,
.……………………………2分
所以
,………………………………6分
因为 ,所以 ,所以定义域为 .……………………8分
(2)矩形窗面的面积为 .
则透光区域与矩形窗面的面积比值为 .…10分
设 , .
则
,………………………………………………12分
因为 ,所以 ,所以 ,故 ,
所以函数 在 上单调减.
所以当 时, 有最大值 ,此时 (m). …14分
答:(1) 关于 的函数关系式为 ,定义域为 ;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时, 的长度为1m.………16分
注意:18(1)中,没有求出定义域为 ,或者求解错误,扣2分。18题两个小题中,没有明确给出答案,各扣1分。
19.(1)由 ,得 ,
即 ,所以 . ……………………………2分
由 , ,可知 .
所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列.
故 的通项公式为 .………………………………………………4分
(2)证法一:设数列 的公差为 ,则 ,
由(1)知, .
因为 ,所以 ,即 恒成立,
所以 即 …………………………………………………6分
又由 ,得 ,
所以
.
所以 ,得证. …………………………………………………………8分
证法二:设 的公差为 ,假设存在自然数 ,使得 ,
则 ,即 ,
因为 ,所以 .……………………………………………………6分
所以 ,
因为 ,所以存在 ,当 时, 恒成立.
这与“对任意的 ,都有 ”矛盾!
所以 ,得证. …………………………………………………………8分
(3)由(1)知, .因为 为等比数列,且 , ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列.
所以 , .…………………………………………………10分
则 ,
因为 ,所以 ,所以 .…………………12分
而 ,所以 ,即 (*).
当 , 时,(*)式成立;………………………………………………14分
当 时,设 ,
则 ,
所以 .
故满足条件的 的值为 和 .………………………………………………16分
20.(1)当 时, , .……………………2分
因为 在 上单调增,且 ,
所以当 时, ;当 时, .
所以函数 的单调增区间是 .……………………………………4分
(2) ,则 ,令 得 ,
当 时, ,函数 在 上单调减;
当 时, ,函数 在 上单调增.
所以 .………………………………………6分
①当 ,即 时,
函数 的最小值 ,
即 ,解得 或 (舍),所以 ;………8分
②当 ,即 时,
函数 的最小值 ,解得 (舍).
综上所述, 的值为 .………………………………………………………10分
(3)由题意知, , .
考虑函数 ,因为 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调增,故 .…………………12分
所以 ,即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
设 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调减,所以 . …………………………14分
设 ,
则 在 上恒成立,
所以 在 上单调增,所以 .
综上所述, 的取值范围为 . ………………………………………16分
注意:20(3)解法较多,各种方法按照3个得分点,每个2分,对应给分。
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数学(附加题)参考答案与评分标准
21.A.连结 , .
因为 为弧 的中点,所以 .
而 ,
所以 ,
即 . ………………………5分
又因为 ,
所以 ,
故 .……………………………10分
B.因为 ,
所以 解得 所以 .……………………………5分
所以矩阵 的特征多项式为 ,
令 ,解得矩阵 的特征值为 , .………………………10分
C.以极点为原点,极轴为 轴正半轴,建立平面直角坐标系,
则点 的直角坐标为 ,直线 的直角坐标方程为 .…………4分
最短时,点 为直线 与直线 的交点,
解 得 所以点 的直角坐标为 .……………………8分
所以点 的极坐标为 .……………………………………………………10分
D.因为 ,所以 ,…………………………5分
所以 ,
当且仅当 时,取“ ”.……………………………………………10分
22.(1)因为直线 与 垂直,所以 为点 到直线 的距离.
连结 ,因为 为线段 的中垂线与直线 的交点,所以 .
所以点 的轨迹是抛物线.……………………………………………………2分
焦点为 ,准线为 .
所以曲线 的方程为 . ………………………………………………5分
(2)由题意,过点 的切线斜率存在,设切线方程为 ,
联立 得 ,
所以 ,即 (*),……………………8分
因为 ,所以方程(*)存在两个不等实根,设为 ,
因为 ,所以 ,为定值. ……………………………10分
23.(1) , ,…………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………4分
(2)解法一:设集合 中有k个元素, .
则与集合 互斥的非空子集有 个.…………………………………6分
于是 .…………………8分
因为 ,
,
所以 .………………10分
解法二:任意一个元素只能在集合 , , 之一中,
则这 个元素在集合 , , 中,共有 种;…………………………6分
其中 为空集的种数为 , 为空集的种数为 ,
所以 , 均为非空子集的种数为 ,………………………8分
又 与 为同一组“互斥子集”,
所以 .………………………………………………10分
注意:23(1) , ,每个1分; ,给2分,均不需要写出过程。