2018届湖北省高三理科数学四模拟试卷题目及答案

A.[﹣3，3] B.(﹣∞，﹣3]∪[3，+∞) C.(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞) D.[﹣1，1]

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可.

【解答】解：x>2m2﹣3是﹣1

∴(﹣1，4)⊆(2m2﹣3，+∞)，

∴2m2﹣3≤﹣1，

解得﹣1≤m≤1，

故选：D.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键.

5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A. B. C. D.

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积.

【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，

其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，

几何体的体积为 = π，

故选C.

【点评】本题考查三视图，考查几何体体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题.

6.已知直线l过双曲线Γ： =1(a>0，b>0)的一个焦点且与Γ的一条渐近线平行，若l在y轴上的截距为 a，则双曲线的离心率为(　　)

A. B.2 C. D.2

【考点】双曲线的简单性质.

【分析】利用已知条件，求出直线方程，代入焦点坐标，转化求解双曲线的.离心率即可.

【解答】解：不妨设直线l过双曲线的左焦点(﹣c，0)，要使l在y轴上的截距为：为 a，直线l方程：y= ，直线经过(﹣c，0)，可得 ，可得 ， e，平方化简解得e= .

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

7.已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=(　　)

A.1991 B.2000 C.2007 D.2008

【考点】程序框图.

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000.

【解答】解：i=1，s=2017，i=2;

s=2016，i=3;

s=2016，i=3;

s=2016，i=4，

s=2016，i=5;

s=2015，i=6;

s=2010，i=7;

s=2009，i=8;

s=2008，i=9;

s=2007，i=10;

s=2000，跳出循环，输出s=2000，

故选：B.

【点评】本题考查程序框图和算法，考查学生的运算能力.

8.若tanα= ，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=(　　)

A.1 B. C. D.

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值.

【解答】解：∵tanα= ，则sin4α﹣cos4α+6sin cos cosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα

= = = ，

故选：D.

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题.

9.如图所示，单位位圆上的两个向量 相互垂直，若向量 满足( )( )=0，则| |的取值范围是(　　)

A.[0，1] B.[0， ] C.[1， ] D.[1，2]

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】先由条件可得出 ，| |= ，这样便可由 得出 ，从而得出 的取值范围.

【解答】解：由条件， ， ;

∵ ;

∴ ;

∴ ;

∴ ;

∴ 的取值范围为 .

故选B.

【点评】考查向量垂直的充要条件，单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式.

10.直线y=kx﹣4，k>0与抛物线y2=2 x交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，若AB=2BC，则k=(　　)

A. B. C.2 D.

【考点】直线与抛物线的位置关系.

【分析】将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及相似三角形的性质，即可求得x1，x2，由x1x2= ，代入计算即可求得k的值.

【解答】解：如图，过AB两点作抛物线的准线抛物线的准线的垂线，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则 ，整理得：k2x2﹣(8k+2 )x+16=0，

则x1+x2= ，x1x2= ，

显然△CB′B∽△CA′A，则 = = ，

由抛物线的定义得： = = ，

∴ = ，整理得：4x2=(x1+x2)﹣ ，

∴x2= ﹣ ，

则x1= + ，由x1x2= ，则( + )( ﹣ )= ，由k>，0解得：k= ，

或将选项一一代入验证，只有A成立，

故选：A.

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，相似三角形的性质，计算量大，计算过程复杂，考查数形结合思想，属于中档题.

11.已知函数f(x)=cos(2x+φ)，且 f(x)dx=0，则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)的一条对称轴为x=

B.存在φ使得f(x)在区间[﹣ ， ]上单调递减

C.f(x)的一个对称中心为( ，0)

D.存在φ使得f(x)在区间[ ， ]上单调递增

【考点】余弦函数的图象.

【分析】利用f(x)=cos(2x+φ)， f(x)dx，求出φ值，然后找出分析选项，即可得出结论.

【解答】解：f(x)=cos(2x+φ)， f(x)dx= sin(2x+φ) = sin( +φ)+ sinφ=0，

∴tanφ=﹣ ，解得φ=﹣ +kπ，k∈Z.

令2x﹣ +kπ=nπ，n∈Z，可得x= (n﹣k)π+ ，

令 (n﹣k)π+ = π， = ，矛盾;

令2mπ≤2x﹣ +kπ≤π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[ +mπ， +mπ]，不符合题意，k为偶数，单调减区间为[ +mπ， +mπ]，不符合题意;

令2x﹣ +kπ= π+mπ，x= +(m﹣k) = ，∴ = ，矛盾;

令π+2mπ≤2x﹣ +kπ≤2π+2mπ，k为奇数，单调减区间为[ +mπ， +mπ]，符合题意.

故选D.

【点评】本题主要考查定积分，余弦函数的图象的性质，属于中档题.

12.设定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(3)=1，且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1)，则不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集为(　　)

A.(2014，+∞) B.(0，2014) C.(0，2020) D.(2020，+∞)

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;导数的运算.

【分析】利用函数的可导性，构造函数g(x)=x3f(x)，利用函数的单调性以及不等式，转化求解不等式的解集即可.

【解答】解：定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，3f(x)+xf′(x)>ln(x+1)，

所以3x2f(x)+x3f′(x)>x2ln(x+1)>0(x>0)，可得[x3f(x)]′>0，

所以函数g(x)=x3f(x)在(0，+∞)是增函数，

因为(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0，且f(3)=1，

所以(x﹣2017)3f(x﹣2017)>33f(3)，即g(x﹣2017)>g(3)，

所以x﹣2017>3，解得x>2020.

则不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集为：(2020，+∞).

故选：D.

【点评】本题考查函数的导数，不等式的解集，不等式恒成立问题存在性问题，考查转化思想以及计算能力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2016﹣x)(1+x)2017的展开式中，x2017的系数为　﹣1　.(用数字作答)

【考点】二项式定理的应用.

【分析】利用二项展开式的通项公式，求得(1+x)2017的展开式的通项公式，可得(2016﹣x)(1+x)2017的展开式中，x2017的系数.

【解答】解：由于(1+x)2017的展开式的通项公式为Tr+1= xr，

分别令r=2017，r=2016，

可得(2016﹣x)(1+x)2017的展开式中x2017的系数为2016 ﹣ =2016﹣2017=﹣1，

故答案为：﹣1.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题

14.已知点(x，y)满足约束条件 ，则 的取值范围为　[﹣ ， ]　.

【考点】简单线性规划.

【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z= 的几何意义求出其范围即可.

【解答】解：不等式组表示的可行域如图：z= 的几何意义是可行域内的点与(﹣3，0)连线的斜率：结合图形可知在A处取得最大值，在B处取得最小值，由： 解得A(2，4)，z= 的最大值为： ;

由 解得B(﹣1，﹣3)，z= 的最小值为：﹣ .

则 的取值范围为[﹣ ， ].

故答案为：[﹣ ， ].

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，判断目标函数的几何意义是解题的关键，是一道中档题.

15.已知函数f(x)= ，若f(a)=f(b)(0

【考点】基本不等式.

【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到 当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可

【解答】解：由f(a)=f(b)可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，

则 = =4a+b≥2 =4，当且仅当b=4a时， 取得最小值，

由 ，可得a= ，b=2，

∴f(a+b)=f( )=lg =1﹣2lg2，

故答案为：1﹣2lg2.

【点评】本题主要考查函数的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生的逻辑推理能力.

16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 = ，则 cosC﹣2sinB的最小值为　﹣1　.

【考点】余弦定理;正弦定理.

【分析】利用余弦定理化简已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理可求cosA= ，可得A= ，C= ﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得 cosC﹣2sinB=﹣sin(B+ )，进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值.

【解答】解：在△ABC中，∵ = ，

∴ = ，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，

∴cosA= = ，

∴A= ，C= ﹣B，

∴ cosC﹣2sinB= cos( ﹣B)﹣2sinB=﹣ sinB﹣ cosB=﹣sin(B+ )≥﹣1，当B+ = 时等号成立，

即当B= ，C= 时， cosC﹣2sinB的最小值为﹣1.

故答案为：﹣1.

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.已知等差数列{an}满足an>1，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;

(2)设数列{bn}满足bn= ，且其前n项和为Tn，证明： ≤Tn< .

【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】(1)当n=1、2时，解得a1.a2，利用公差d=a2﹣a1=3.可得an=a1+(n﹣1)d=3n﹣1.

(2)由(1)可得an=3n﹣1.利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和Tn.

【解答】解：(1)∵6Sn=an2+3an+2，∴6a1=a12+3a1+2，

解得a1=1或a1=2.∵an>1，∴a1=2.

当n=2时，6S2=a22+3a2+2，即6(2+a2)=a22+3a2+2，解得a2=5或a2=﹣2(舍).

∴等差数列{an}的公差d=a2﹣a1=3.

∴an=a1+(n﹣1)d=3n﹣1.

前n项和Sn= .

(2) ，

前n项和为Tn=b1+b2+b3+…+bn=

=

∵bn>0，∴ ，∴ ≤Tn< .

【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ(0<θ<π)，E，F分别为BC，AO的中点

(1)求证：EF∥平面ABD

(2)若θ= ，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.

【分析】(1)过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD.

(2)由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值.

【解答】证明：(1)过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，

则H为CD中点，∴HF∥AD

∵AD⊂平面ABD，HF⊄平面ABD，

∴HF∥平面ABD，

同理，EH∥平面ABD，

∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，

∵EF⊂平面EHF，∴EF∥平面ABD.

解：(2)由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，

连结BF，∵θ= ，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，

以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则F(0，0，0)，B(0，0， )，D(﹣1，2，0)，O(1，0，0)，

设平面FBD的法向量 =(x，y，z)，

则 ，取x=2，解得 =(2，﹣1，0)

同理得平面BDO的一个法向量 =( ，1)，

设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，

cosα= = = ，

∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值为 .

【点评】本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题.

19.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.

(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率;

(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.

【分析】(1)设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则 表示事件“随机抽取2名，(其中男、女各一名)都选择网购”，则P(A)=1﹣P .

(2)X的取值为0，1，2，3.P(X=k)= ，即可得出.

【解答】解：(1)设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，

则 表示事件“随机抽取2名，(其中男、女各一名)都选择网购”，

则P(A)=1﹣P =1﹣ = .

(2)X的取值为0，1，2，3.P(X=k)= ，

P(X=0)= ，P(X=1)= ，P(X=2)= ，P(X=3)= .

E(X)=0× +1× +2× +3× = .

【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.已知椭圆C： =1(a>b>0)过点A(0，3)，与双曲线 =1有相同的焦点

(1)求椭圆C的方程;

(2)过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.

【分析】(1)求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程;

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣ ，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣ ，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点.

【解答】解：(1)双曲线 =1的焦点坐标为(3 ，0)，(﹣3 ，0)，

可得椭圆中的c=3 ，由椭圆过点A(0，3)，可得b=3，

则a= =6，

则椭圆的方程为 + =1;

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣ ，

直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x2+4y2﹣36=0，

可得(1+4k2)x2+24kx=0，

解得x1=﹣ ，y1=kx1+3= ，

即有P(﹣ ， )，

将上式中的k换为﹣ ，可得Q( ， )，

则直线PQ的斜率为kPQ= = ，

直线PQ的方程为y﹣ = (x+ )，

可化为x(k2﹣1)﹣(5y+9)k=0，

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣ .

则PQ过定点(0，﹣ ).

【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用双曲线的焦点坐标，考查直线恒过定点的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

21.已知函数f(x)=8a2lnx+x2+6ax+b(a，b∈R)

(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2x，求a，b的值;

(2)若a≥1，证明：∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有 >14成立.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】(1)求导，由题意可知 ，即可求得a，b的值;

(2)利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论.

【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，求导f′(x)= +2x+6a，

由曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2x，则 ，

解得： 或 ，

则a，b的值0，1或﹣ ， ;

(2)证明：①当x10，欲证：∀x1，x2∈(0，+∞)，都有 >14成立，

只需证∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣f(x1)>14(x2﹣x1)成立，

只需证∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，

构造函数h(x)=f(x)﹣14x，则h′(x)=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，则h′(x)=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴h(x)在(0，+∞)内单调递增，则h(x2)>h(x1)成立，

∴f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，则 >14成立;

②当x1>x2时，则x2﹣x2<0，

欲证：∀x1，x2∈(0，+∞)，都有 >14成立，

只需证∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣f(x1)>14(x2﹣x1)成立，

只需证∀x1，x2∈(0，+∞)，都有f(x2)﹣14x2>f(x1)﹣14x1成立，

构造函数H(x)=f(x)﹣14x，则H′(x)=2x+ +6a﹣14，

由a≥1，则H′(x)=2x+ +6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0，

∴H(x)在(0，+∞)内单调递增，则H(x2)

∴ >14成立，

综上可知：∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有 >14成立.

【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题.

[选修4-4：参数方程与极坐标系]

22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0

(1)若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围;

(2)若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长.

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

【分析】(1)曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程为 ，代入并整理可得t2+( m﹣1)t+m2﹣4=0，利用直线l与曲线C没有公共点，即可求m的取值范围;

(2)若m=0，若m=0，直线l的极坐标方程为θ= ，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l被曲线C截得的弦长.

【解答】解：(1)曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4=0，即(x﹣1)2+y2=5

直线l的参数方程为 ，代入并整理可得t2+( m﹣1)t+m2﹣4=0

∵直线l与曲线C没有公共点，

∴△=( m﹣1)2﹣4(m2﹣4)<0，

∴m<﹣ ﹣2 或m>﹣ +2 ;

(2)若m=0，直线l的极坐标方程为θ= ，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0.

直线l被曲线C截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，

∴直线l被曲线C截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|= = .

【点评】本题考查三种方程的转化，考查极径的意义，属于中档题.

[选修4-5：不等式选讲]

23.(2017湖北四模)已知函数f(x)=|x﹣2a|+|x+ |

(1)当a=1时，求不等式f(x)>4的解集;

(2)若不等式f(x)≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围.

【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.

【分析】(1)当a=1时，分类讨论，求不等式f(x)>4的解集;

(2)f(x)=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，利用不等式f(x)≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围.

【解答】解：(1)当a=1时，不等式f(x)>4为|x﹣2|+|x+1|>4.

x<﹣1时，不等式可化为﹣(x﹣2)﹣(x+1)>4，解得x<﹣ ，∴x<﹣ ;

﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣(x﹣2)+(x+1)>4，不成立;

x>2时，不等式可化为(x﹣2)+(x+1)>4，解得x> ，∴x> ;

综上所述，不等式的解集为{x|x<﹣ 或x> };

(2)f(x)=|x﹣2a|+|x+ |≥|2a+ |=|2a|+| | ，

不等式f(x)≥m2﹣m+2 对任意实数x及a恒成立，∴2 m2﹣m+2 ，

∴0≤m≤1.

【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题.