一、 填空题(本题满分42分，每小题3分)
1.{0，π2 ｝ 2.-12 3.-12 4.2 5.y=ln(2x-2) 6.0 7.(-∞,1]
8.310 9.1 10.(12 ,-32 ),(-12 ,32 ) 11.②③12.(3,5) 13.19 14.[-1-π , 1+π]
二、解答题
15.(本题满分10)
(1) log189=a，log185=b，log3645=a+b2-a ;
(2) tan(∠A+∠B)=12+131-12×13 =1，△ABC中∠A+∠B = π4 ，∠C = 3π4 .
16.(本题满分8)
tanα2 =sinα2 cosα2= sinα22cosα2 cosα2 2cosα2=sinα 1+cosα =sin2α (1+cosα)sinα=1-cosα sinα= 1+sinα-cosα1+sinα+cosα .
17. (本题满分10
(1) =(2 , 3)， =(3 , k).若∠BAC是锐角，则 =6+3k>0，且k≠92 ;
若∠ABC是锐角，则 =7-3k>0;若∠BCA是锐角，则 =k2-3k+3>0;
k的取值范围是(-2 , 73 ).
(2) 若∠BAC是直角，则 =6+3k =0，k=-2，这时| |=| |=13 ，△ABC的面积是132 ;若∠ABC是直角，则 =7-3k =0，k=73 ，这时△ABC不是等腰直角三角形;又∠BCA一定是锐角，所以，仅存在实数k=-2，使得△ABC是等腰直角三角形，这时△ABC的面积是132 .
18.(本题满分10分)
(1)h=3 sinθ+cosθ =2sin(θ+π6 )，
因为0<θ<π2 ，所以π6 <θ+π6 <2π3 ，h的最大值是2，相应的θ值为π3 ;
(2)h>3时，sin(θ+π6 )>32 ，所以 π3 <θ+π6 <2π3 ，即 π6 <θ<π2 ，θ取值范围是(π6 ，π2 ).
19.(本题满分10分)
(1)f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<π)的最大值是2 ，周期是π，∴所以A=2 ，ω=2，
∵f (x)图象过点(-π8 ,-2 )，∴sin(-π4 +φ)=-1，
∵-π<φ<π，∴φ=-π4 ，f (x) =2 sin(2x-π4 ).
(2)令2 sin(2x-π4 )=0，得2x-π4 =kπ，即x=kπ2 +π8 ，k是整数，
f (x)图象的对称中心是(kπ2 +π8 ，0)，k是整数.
(3)x∈[0 , π2 ]时，2x-π4 ∈[-π4 , 3π4 ]，sin(2x-π4 )∈[-22 , 1]，f (x)的取值范围是[-1 , 2 ] ，
若函数y=f (x)-m在[0 , π2 ]上有零点，则实数m的.取值范围是[-1 , 2 ].
20.(本题满分10分)
(1) f (x)的定义域是{x|x∈R , x≠kπ2 , k∈Z};
(2) sinx+3sinx+2 =1+1sinx+2 最大值为1+1-1+2 =2;
(3) 设t=sinx+cosx，则1sinx +1cosx = sinx+cosxsinxcosx = 2tt2-1 ，
x∈(0 , π2 )时，t的取值范围是(1 , 2 ].
用函数单调性定义可证明s(t) = 2tt2-1 (t∈(1 , 2 ])是减函数，
所以x∈(0 , π2 )时，2tt2-1 最小值为22 ，又α∈R时，2g(α)最大值为22 ;
所以f (x)≥2g(α)恒成立.
注：部分试题有变动，第2题原题是求sin2010°的值，答案一样;第15题去了第1小题，第2小题将求角C改为证明;第16题原来是证明：tanα2 = sinα 1+cosα = 1+sinα-cosα1+sinα+cosα ;第17题锐角三角形改为角BAC为锐角，等腰直角三角形改为直角三角形。
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