代数综合中考数学题汇总

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　　考点： 二次函数综合题

分析： (1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可;

(2)根据已知得出△OPQ的高，进而利用三角形面积公式求出即可;

(3)根据题意得出：0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当2

(4)首先求出抛物线对称轴以及OB直线解析式和PM的解析式，得出 (1﹣t)× =3﹣t﹣2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，再利用2

解答： 解：(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(6，0)，B(3， )，C(1， )三点坐标代入得：

，

解得： ，

即所求抛物线解析式为：y=﹣ x2+ x+ ;

(2)如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，

∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4﹣t，

∴△OPQ的高为：OQ×sin60°=(4﹣t)× ，

又∵OP=2t，

∴S= ×2t×(4﹣t)× =﹣ (t2﹣4t)(2≤t≤3);

(3)根据题意得出：0≤t≤3，

当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ= ，

PQ= = ，

∵∠POQ<∠POC=60°，

∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，

若∠OPQ=90°，如图2，则OP2+PQ2=QO2，即4t2+3+(3t﹣3)2=3+(3﹣t)2，

解得：t1=1，t2=0(舍去)，

若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，

若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2+PQ2=PO2，即(3﹣t)2+6+(3t﹣3)2=4t2，

解得：t=2，

当24，

∠POQ=∠COP=60°，

OQ

故△OPQ不可能为直角三角形，

综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形;

(4)由(1)可知，抛物线y=﹣ x2+ x+ =﹣ (x﹣2)2+ ，

其对称轴为x=2，

又∵OB的直线方程为y= x，

∴抛物线对称轴与OB交点为M(2， )，

又∵P(2t，0)

设过P，M的直线解析式为：y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

即直线PM的解析式为：y= x﹣ ，

即 (1﹣t)y=x﹣2t，

又0≤t≤2时，Q(3﹣t， )，代入上式，得：

(1﹣t)× =3﹣t﹣2t，恒成立，

即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，

即M在直线PQ上;

当2

∴Q( ， )，

代入上式得： × (1﹣t)= ﹣2t，

解得：t=2或t= (均不合题意，舍去).

∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2.

点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出t的值是解题关键.

13、(2013•荆门压轴题)已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2);(x1

(1)当k=1，m=0，1时，求AB的长;

(2)当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.

(3)当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状.证明你的猜想.

(平面内两点间的距离公式 ).

　　考点： 二次函数综合题.

分析： (1)先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x2，直线的解析式为y=x+1，联立 ，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB= AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB= ;同理，当k=1，m=1时，AB= ;

(2)当k=1，m为任何值时，联立 ，得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，同(1)可求出AB= ;

(3)当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由 ，得A(﹣1，1)，B(1，1)，显然△AOB为直角三角形;②当k=1时，联立 ，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣ 1，同(1)求出AB= ，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形;③当k为任意实数时，联立 ，得x2﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1•x2=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2═k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形.

解答： 解：(1)当k=1，m=0时，如图.

由 得x2﹣x﹣1=0，

∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，

过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C.

∵直线AB的解析式为y=x+1，

∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ;

同理，当k=1，m=1时，AB= ;

(2)猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB= .理由如下：

由 ，得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0，

∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，

∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ;

(3)当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：

①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，

由 ，得A(﹣1，1)，B(1，1)，

显然△AOB为直角三角形;

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

由 ，得x2﹣x﹣1=0，

∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，

∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ，

∴AB2=10，

∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

=x12+x22+y12+y22

=x12+x22+(x1+1)2+(x2+1)2

=x12+x22+(x12+2x1+1)+(x22+2x2+1)

=2(x12+x22)+2(x1+x2)+2=2(1+2)+2×1+2

=10，

∴AB2=OA2+OB2，

∴△AOB是直角三角形;

③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形.

由 ，得x2﹣kx﹣1=0，

∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，

∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2

=(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2

=(1+k2)(x1﹣x2)2

=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]

=(1+k2)(4+k2)

=k4+5k2+4，

∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22

=x12+x22+y12+y22

=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2

=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)

=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2

=(1+k2)(k2+2)+2k •k+2

=k4+5k2+4，

∴AB2=OA2+OB2，

∴△AOB为直角三角形.

点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度.本题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想.