五年级奥数题:质数与合数

1、有人说：“任何7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子，说明这句话是错的.

2、从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12.

3.9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?

4.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数?

5.已知一个两位数除1477，余数是49.求满足这样条件的所有两位数.

6.某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师，14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

7.在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872.那么原来的乘积是多少?

8.已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?

9.在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数各是多少?

10.一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9 问360共有多少个约数？

分析 360=23×32×5。

为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。

解：记5的'约数个数为Y1，

32×5的约数个数为Y2，

360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：

Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。

因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24个约数。

说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此

Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例10 求240的约数的个数。

解：∵240＝24×31×51，

∴240的约数的个数是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

1.将1，2，3这3个数字选出1个、2个、3个按任意次序排列出来可得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数都写出来.

考点：合数与质数.

分析：按要求写出所有一位数，二位数，三位数，然后选出质数即可.

解答：解：一位数为：1，2，3，

二位数为：12，13，21，23，31，32，

三位数为：123，132，213，231，312，321，

其中质数为2，3，13，23，31.

点评：明确质数的含义：除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数;是解答此题的关键.