奥数练习题：完全平方数的数论

奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读关于完全平方数的数论练习,感受奥数的奇异世界!

　1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

解：设此自然数为x，依题意可得

x-45=m^2;(1)

x+44=n^2(2)

(m,n为自然数)

(2)-(1)可得:

n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89

因为n+m>n-m

又因为89为质数，

所以：n+m=89;n-m=1

解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

　2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

分析设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

证明设这四个整数之积加上1为m，则

m为平方数

而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

3、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

分析形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的'平方，即

或

在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

证明若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

若，则

因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

综上所述，不可能是完全平方数。

另证由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

　4、求满足下列条件的所有自然数：

(1)它是四位数。

(2)被22除余数为5。

(3)它是完全平方数。

解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

11|N-4或11|N+4

或

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。

5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?

解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

为您提供的关于完全平方数的数论练习，希望给您带来启发!