小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十一）[1]
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧填两个真分数之间的分数
两个真分数之间的分数是无穷的，这里给出几种简便填法。
数，下同)。
且两个分数是真分数，
且两个分数为真分数，则a>b，
即 bc-ad<0，
因为 a、b、c、d是正数，故 ac>0，a(a+c)>0，c(a+c)>0，
(5)根据“大小两数的算术平均数，必大于小数而小于大数。”求
符合要求。
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(6)倍乘法
若插入“四个数”，就把它们各扩大“五倍”，即倍数比插入数多1。
(7)化为小数
显然，0.75～0.8之间的数是无穷的。
(8)反复通分
(9)变分子相同
故知所求数依次为
(个)符合要求的分数。如果扩大3倍，则得(63-55)×3-1=23(个)。
(10)化为百分数
(11)单位“1”法
把两个分数中的任意一个看作“1”，求出另一个分数占单位“ 1”的几分之几，取所得分数分子与分母的中间数作分子，分母不变，再乘以单位“1”即得问题的解。
(12)数轴法
都满足条件。
件
数)，取其中的m份(m＜n)，一般表达式
所以该题的解为：
n的取值无限，其解无穷。
假设m=2，n=3，则
上是关系有理数集的稠密性的问题——任意两个不同的有理数之间存在着无穷多个有理数。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（十）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧试商
(1)定位打点
首先用打点的方法定出商的最高位。
其次用除数的最高位去除被除数的前一位(如果被除数的前一位不够，就除被除数的前两位)。
最后换位调商。试商后，如果除数和商相乘的积比被除数大时，将试商减1;小时，且余数比除数大，将试商加1.例略。
(2)比积法
就是在求得商的最高位后，以后试商时，把被除数和已得的商与除数之积比较，从而确定该位上的商。常可一次试商获得成功，从而提高解题速度，还可培养学生的比较判断能力。
例如，9072÷252=36.
十位上商3，得积756.在个位上试商时，只要把1512与756相比较，便知1512是756的2倍，故商的个位应是3的2倍6.特别是当商中有相同数字时，更方便。
本题在个位上试商时，只要把1268与1256相比较，便知应为8，且很快写出积1256，从而得到余数12.
(3)四舍五入法
除数是两、三位数的除法。根据除数“四舍五入”的试商方法，常需调商。若改为“四舍一般要减一，五入一般要加一”，常可一次定商。
例如，175÷24，除数24看作20，被除数175，初商得8，直接写商7.
2299÷382，382可看作400，上商5，积是2000.接近2299，但结果商还是小，可直接写商6.
(4)三段试商法
把两位数的除数的个位数1—9九个数字，分为“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段来处理。
当除数的个位数是1、2、3时，用去尾法试商(把1、2、3舍去)。
商。
当除数个位数是4、5、6时，先用进一法试商，再用去尾法试商，然
商为8，取6—8之间的“7”为准确商。如果两次初
是初商6、7中的“6”.
(5)高位试低位调
用除数最高位上的数去估商，再用较低位上的数调整商。例如：513÷73=7的试商调商过程如下。
A.用除数十位上的7去除被除数的前两位数51，初商为7;
B.用除数个位上的3调商：从513中 去减7与70的积490，余23，23比初商7 与除数个位数3的积21大，故初商准确，为7.
如果283÷46时，用除数高位上的4去除28，初商为7，用除数个位6调商，从283中减去7与40的积余3，3比7与除数个位数6的积42小，初商则过大。调为6.
这种试商方法简便迅速，初商出得快，由于“低位调”，准确商也找得准。同时，由于用除数最高位上的数去估商时，初商只存在过大的情况，调整初商时只需要调小，这样，调商也较快。
但是，有时在采用这种方法试商时，初商与准确商仍存在着差距过大的
调商，从181中减去6与30的积，余1，1比6与7的积小，照理应将初商调为5，因为1比42小41，而41>37，为了减少调商次数，直接将初商调为“4”，称为“跳调”。这样便于较快地找出准确商。
(6)靠五法
对除数不大接近于整十数、整百数的，如9424÷152，不论用舍法或者入法，都要两次调商。如果我们把除数152看作150，即不是用四舍五入法，而是向五靠，一般能减少试商次数，甚至可以一次定商。
(7)同头无除
当被除数和除数的最高位数字相同，而被除数的次高位数字又比除数次高位数字小的，例如3368÷354=9……，1456÷182=8，一般的就用“同头无除商8、9”.
(8)半除
被除数的前一位或两位数正好是除数前两位数的一半或接近一半的，例如965÷193=5，1305÷261=5，一般用“半除商5”.
(9)一次定商法
对确定每一位商，分四步进行：
第一步，用5作基商，先求出除数的5倍是多少;
第二步，求差数，即求出被除到的数与除数的5倍的差数;
第三步，求差商，差数÷除数=“差商”;
第四步，定商，若差数>0，当差商是几，定商为“5+几”，若差数<0，当差商是几，定商为“5-几”。
例如：517998÷678=764……6
(1)先从高位算起，定第一位商7.
先求除数的5倍：678×5=3390求差商(5179-3390)÷678=2……;
定商 5+2=7;
(2)定第二位商6.
差商(4339-3390)÷678=1……
定商 5+1=6;
(3)定第三位商4.
被除数与除数5倍的差小于0，差商不足1，
定商5-1=4，即2718÷678的商定为4.
对于上述一次定商法，在定商的过程中，如果被除到的数是除数的1倍或2倍，可以直接定商，不必拘泥于上面四步。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（九）
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巧设条件
有些题数量关系抽象，猛一看去甚至觉得条件“不充分”。若把题变为“看得见，摸得着”，则易为学生理解接受。
例1 制造某种机器零件的时间甲比乙少用1/4，那么，甲比乙的工作效率高( )%.
若假设乙加工这种零件要8小时(是4的倍数计算方便)，那么，甲加工
如果设乙加工这种零件要4分钟，那么，他每小时加工15个;甲用的时间比乙少1/4，只需要3分钟，他每小时能加工20个。这样，就更简捷了。
(20—15)÷15≈33.3%.
设正方形的边长为6个长度单位(6是2和3的最小公倍数)，则
例3 甲数比乙数多25%，乙数比甲数少( )%.
数少
例4 一组题。
(1)一个正方形体的棱长扩大2倍，那么它的体积就扩大( )倍，表面积扩大( )倍。
假设原正方体的棱长为1个单位长度，其体积为1×1×1，表面积为1×1×6;扩大后的棱长为2，体积为23、表面积为22×6。再通过比较就可得出结果。
(2)大圆半径是小圆半径的3倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆
假定小圆半径为1，则大圆半径为3。
与小圆面积的比是( )。
假设阴影部分的面积为6，代入计算比直接利用两个“分率”推导易理解。
求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6+1，即高出24cm.
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（八）[1]
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巧求最小公倍数
求最小公倍数要根据具体题，灵活选用最佳方法。
(1)倍数查找法
例如，求6和9的最小公倍数。
分别求出要求最小公倍数的那几个数的一些公倍数，从中找出相同的且最小的一个。
6的倍数有：6、12、18、24……
9的倍数有：9、18、27、36……
则[6，9]=18.
(2)约分法
(证明略)
例如，求84与36的最小公倍数。
[84， 36]=3×84=252或 36×7=252
经逐次约分后，分数线上下形成了两列数，从这两列数的“头乘头或尾乘尾”即可得出原先两个数的最小公倍数。
(3)短除法
[15，30，40]=5×3×2×4=120.
用短除法求最小公倍数最好用质数去试除，否则易出错。如：
∴ [15，30，40]=10×3×5×4=600.
因为用合数去除，相当于用2除再用5除，而15虽然不能被10整除，却可以被5整除。如果用10去除，就少用5去除，使结果扩大5倍。这是错误的。
此法也不是非要用质数去试除不可。例如，下面两式都是对的。
2×2×3×5×4 4×3×5×4
=240 =240
这是因为12、60和16既有公约数2，也有公约数4。用较大的公约数去除，能减少运算步骤，应灵活选用。
(4)归类法
成倍数关系的几个数，最大的那个是它们的最小公倍数。
例如，12、15和60成倍数关系，即12与15分别是60的约数。
则[12，15，60]=60
如果三个数两两互质，其积是它们的最小公倍数。
例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互质数。
则[3，4，5]=3×4×5=60.
如果三个数当中只有两个数是倍数关系，那么其中较大的数与另外一个数的最小公倍数，就是这三个数的最小公倍数。
例如，8和4是倍数关系，较大数8和3的最小公倍数是24.
则[8，4，3]=24.
(5)翻倍法
当几个数之间不存在倍数关系或互质关系，要找它们的最小公倍数时，用两个(或两个以上)数中较大的那个数依次乘以2、3、4、5……求得“最先积”如果是另一个数(或另几个数)的倍数时，这个“最先积”就是所求的最小公倍数。
例如，求30、35和70的最小公倍数。
因为70是三个数中较大的数，用70依次去乘以2、3、4……得出积是70×2=140，70×3=210，70×4=280……而210是30、35和70的倍数中的“最先积”，所以
[30，35，70]=210.
(6)用商法
先把两个数写成除法的形式，大数作被除数，小数作除数(除数为大于1的自然数)，所得的商写成最简分数。这两个数的.最小公倍数等于被除数乘以商的分母。
例如，求64与48的最小公倍数。
64×3=192
∴[64，48]=192.
(7)口诀法
例如，求18和24的最小公倍数。
乘法口诀：“三六一十八(3×6=18)，四六二十四(4×6=24)”。6是它们的公约数，3和4是互质数。
则[18， 24]=6×3×4=72.
(8)最简分数法
例如，求84和63的最小公倍数。
写为真分数，化为最简分数。原分数的分子(或分母)乘以最简分数的分母(或分子)。
63×4=252或 3×84=252.
则[84，63]=252.
再如，求36、40和44的最小公倍数。
[36，40]=360.
[44，360]=3960.
则[36，40，44]=3960.
(9)特征法
例如，求24和30的最小公倍数。
根据24和30能被2整除的特征，记下2;
再根据都能被3整除，记下3.
2乘3得6，24和30分别除以6商为4、5，4和5互质。则[24，30]=6×4×5=120.
(10)定理法
定理：两个数的最小公倍数。等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
这里的数都是自然数，即：
此定理的证明对小学教师来讲，应予以掌握，以居高临一般书中介绍的证法不易掌握，这里给出两种简便证法。
证明：?∵(a，b)|b，
∵a|[a，b]，b|[a，b]，
存在正整数m，n，
使[a，b]=am…(1)
[a，b]=bn…(2) [2]
∴ k=1，
[1]数的整除定理3：如果b|a1，那么b|(a1a2…an)。(n>1)
[2]最小公倍数的性质1：如果[a，b]=m，n是a、b的任意一个公倍数，那么m|n.
[3]最大公约数的性质2，如果[a，b]=c，那么(a÷c，b÷c)=1.
(见《算术基础理论》)
证明：设(a，b)=t，
则a=t·p1，b=t·p2，其中(p1，p2)=1，
则有[a，b]=[t·p1，t·p2]
=t· p1·p2.
例1 求44和64的最小公倍数。
这种方法虽然计算较复杂，但优点是在求两个数的最小公倍数的同时，复习了求最大公约数。如果习题既要求求两个数的最大公约数，又要求两个数的最小公倍数，那就更显示出其优越性。
例2 a、b的最大公约数是15，最小公倍数是225，求a、b各是多少?
又因(a，b)=15，所以
a=15p1，b=15p2，且(p1，p2)=1，
于是15p1·15p2=225×15，所以
p1·p2=15，其中(p1，p2)=1.
由此得
例3整数a、b之积为9408，它们的最小公倍数是336，求a、b.
因a·b=9408，[a，b]=336及上述定理得
设a=28p1，b=28p2，(p1，p2)=1，于是ab=282·p1·p2=9408，
p1· p2=12，(p1，p2)=1.
由此得
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
(11)比例法
把要求最小公倍数的两个数看作一个比的前项和后项，再将这个比化简，使其成为一个比例。这个比例内项(或外项)的积，即为所求。
例如，求34与51的最小公倍数。
34∶51=2∶3
则[34，51]=34×3=102.
(12)扩倍法
把最大数扩大到能被另外两个数整除，扩大的倍数与最大数的积就是要求的最小公倍数。
例如，
∵60×4=240，240÷16=15，240÷24=10，
∴[16，24，60]=60×4=240.
(13)求差取积法
此法分三种情况，这里分别给出两种证明方法，第二种证法简捷。
一、两个数的差小于减数
先求两数之差，然后用差作除数，去除减数，再用所得的商乘以被减数，所得的积就是原两个数的最小公倍数。
例如，求12与15的最小公倍数。
15-12=3，12÷3=4，
15×4=60.
则[12，15]=60.
证法一：(下面的字母都表示自然数)
设两个数 a、b，a-b=c，且 0<C<B。< p>
如果b÷c=q，则aq=[a，b].
证明：∵ a-b=c，∴a=b+c，
又∵b÷c=q，∴b=c·q，
∴ aq=(b+c)· q=(c· q+c)· q
=(q+1)·cq=(q+1)·b，
∴b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a，b的公倍数。
设 m=[a，b]，则aq=km。
∵a|m、ak|mk、ak|ap，∴k| q.
又∵ b|m、bk|mk、bk|aq，即 cq· k|(q+1)· cq，
∴ k|(q+1)，显然(q，q+1)=1，
∴k=1，
∴ aq=m=[a，b].
证法二：
如果a-b=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
证明：∵a-b=c，且c<B，< p>
∴a÷b=1(余c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.(辗转相除法所依据的两个定理)
二、两个数的差大于减数。
若两个数的差大于减数时，可以先把减数扩大若干倍，使减数接近被减数，然后再按上述方法求出这两个数的最小公倍数。
例如，求42与105的最小公倍数。
42×2=84 105-84=21
42÷21=2 105×2=210
则[42，105]=210
证法一：
设两个数 a、b，且 a-b>b，则将b扩大 k倍(k是大于 1的自然数)，使 0
如果b÷c=q，那么aq=[a，b].
证明：∵ a-kb=c∴ a=kb+c，
∵ b÷C=q∴b=cq，
∴ a=kb+c=kcq+c=(kq+1)· c，
aq=(kq+1)c· q=(kq+1)· cq
=(kq+1)· b，
∴ b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a与b的公倍数。
设[a，b]=m，则aq=pm(p是自然数)。
∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q，
b|m、bp|pm、(qc)·p|(kq+1)·cq，
∴ p|(kq+1).
∵(q， kq +1)= 1，∴ p= 1，
∴ aq=pm=[a，b].
证法二：
如果 a-nb=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
证明：∵ a-nb=c，且 c<B，< p>
∴ a÷b=n(余 c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.
三、两个数的差不能整除减数。
如果两个数的差不能整除减数时，可用差的约数(从大到小试除)作除数，然后再按上述方法求出两个数的最小公倍数。
例如：求189与135的最小公倍数。
189-135=54∵54 135，
54的约数有 27、18……
∵135÷27=5，
189×5=945，
则[189，135]=945.
如果两数差等于减数时，这两个数的最小公倍数是被减数。
证法一：
设两个数a、b，a-b=c，且c b，c的约数为c1、c2…，cn其中ci是这些约数中能整除b的最大一个。
令b÷ci=q，则aq=[a，b].
证明：设c÷ci=d，则c=cid.
又∵a-b=c，∴a=b+c，
∵ b÷ci=q，∴b=ci·q.
aq=(b+c)·q=(ciq+cid)·q=(q+d)·ciq
=(q+d)· b，
∴ b|aq。又∵ a|aq，∴ aq是a、b的公倍数。
同样设[a，b]=m，则aq=km.
∵a|m、ak|km、ak|aq，∴k|q，
∵b|m、bk|km、bk|aq，∴ bk|(q+d)·b，
∴k|(q+d).
∵(q，q+d)=1[设q，q+d]≠1，令(q，q+d)=n(n 是大于1的自然数)，那么
q= n· q1，
q+d=n· q2，
d=nq2-q=nq2-nq1=n(q2-q1)，
∴b=ci· q=ci· nq1，
c=cid=cin(q2-q1)，
∴ cin是c的约数，cin|b且cin>ci.
这与已知ci是c的约数中能整除b的最大一个相矛盾，∴ (q，q+d)= 1.
∴ k=1，∴aq=m=[a，b].
证法二：
如果a-b=c，c<B，(B，C)=D，< p>
b=dm，
那么[a，b]=am.
证明：∵ a-b=c，且c<B，< p>
∴ a÷b=1(余c).
又∵(b，c)=d，
∴(a，b)=(b，c)=d.
又∵ b=dm，
(14)巧检验两数最小公倍数
求两数的最小公倍数是《数的整除》这一单元的重点内容。用这两个数与它们分解质因数结果互质的两个数交叉相乘，看所得的积是否等于所求得结果，来判断这结果是不是它们的最小公倍数。
例如，求32和40的最小公倍数。
[3，40]=160.
检验：
由于32×5=160或40×4=160，所以160是32和42的最小公倍数正确。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（七）
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巧记分数化小数的结果
记熟一些分数化小数的结果，对提高分数、小数四则运算和分数化小数的速度有很大帮助。
0.75，这几个分数比较常见易记。其他的只要找到窍门，记熟也不难。
分母是5的最简分数：把分子乘以2，再缩小10倍。
分子是1，分母是大于5的质数，可以用下面的方法：
把分子1化为0.9999……，直到依次把9“除尽”，商便是循环小数。例如：
由于被除数各位上的数都是9，减积时不需要退位，就能使计算比较简便。
如果分子不是1，可先把分子是1的分数化为循环小数，再乘以原来的分子。例如：
乘以原来的分子得：
(如图)分子是1，就从这六个数字中 最小的一个起排六个数字;分子是2，就从这六个数字中第二小的一个起排六个数字，依此类推。分母是8的最简分数：分子是1，小数的第一位也是1;分子是3，小数的第一位也是3。即
分母是9的最简分数：它的结果都是一个循环小数，循环节的数字和分子的数字相同。
分母是10的最简分数：把分子缩小10倍即可。
分母是20的最简分数：把分子扩大5倍，再缩小100倍。
分母是25的最简分数：把分子扩大4倍，再缩小100倍。
分母是50的最简分数：把分子扩大2倍，再缩小100倍。
根据分数单位的小数值，用乘法把分数化成小数。比用除法简捷。
不难发现，这些题的商，全部是循环小数，1÷11的商的循环节是09，2÷11商的循环节是2个9，即18，3÷11商的循环节是3个9，即27……”。这样，你只要看到题目，根据规律，马上就可想出它们的商。
例如，7÷11，它的商是循环小数，循环节是7个9，即63。
被除数超过10，可分两步思考：
第一步是先用口算求出商的整数部分;第二步是再看求出商的整数部分后的余数是几，根据余数写出商的循环节。
例如，72÷11，先求商的整数部分是6，再看它的余数是6，可断定
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（六）
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巧求最大公约数
(1)列举约数法
例如，求24和36的最大公约数。
显然(24，36)=12.
(2)分解质因数法
就是先把要求最大公约数的那几个数分别分解质因数，然后把这几个数公有的质因数相乘，所得的积就是要求的最大公约数。
例如，求12、18和54的最大公约数。
所以(12，18，54)=2×3=6.
(3)除数相除法(短除法)
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到所得的商只有公约数1为止，再把所有的除数连乘起来，乘得的积就是所求的最大公约数。
例如，求24、60和96的最大公约数。
所以(24、60、96)=2×2×3=12.
(4)应用相除法
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到商只有公约数1为止。然后用被除数除以商。
例如，求36和54的最大公约数。
(5)辗转相除法
也称欧几里得除法。
就是用大数除以小数，如果能整除，小数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用小数除以第一个余数，如果能整除，第一余数就是所求的最大公约数;如果不能整除，再用第一个余数除以第二个余数，如果能整除，第二个余数就是所求的最大公约数，如果不能整除，再像上面那样继续除下去，直到余数为0为止，最后的那个除数就是所求的最大公约数。如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数。
例如，求621和851的最大公约数。
则(621，851)=23.
(6)辗转相减法
在求几个数的最大公约数时，可从任一大数中减去任意小数的任意倍数，同时作几个减法。
理论根据：
定理1：如果甲、乙二数的差是乙数，那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。
即：如果a-b=b，那么(a，b)=b。(本文字母都是自然数)
证明：∵a-b=b，
∴a=2b，即 b|2b→b|a.
又∵b|b，∴(a，b)=b.
定理2：如果两个数的差不等于零，那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的最大公约数。
即：如果a-b=c(a>b)，
那么(a，b)=(b，c).
可理解为差与小数成倍数关系，差就是所求的最大公约数;如果差与小数不成倍数关系，差与小数的最大公约数就是所求的最大公约数。
∵a-b=c，
因此t是b、c的公约数。
又设(p2，p1-p2)=m(m>1)，则
故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。说明t不但是b、c的公约数，而且是最大公约数。即：
(b，c)=t，
∴(a，b)=(b，c).
例如，429-143=286，
∴(429，143)=(143，286).
又∵143|286，
∴(143，286)=143.
因此(429，143)=143.
根据上面的两个定理求(a，b).
设a>b，
①当 b|a时，则(a，b)=b.
②当b a时，则a-b=p1，即(a，b)=(b，P1).
其中当P1|b时，则(b，P1)=P1.
当P1 b时，则b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2).
……
照此依次减下去，被减数、减数在逐渐减小，差也随着相对减小，最后必能得到一个ppn=0。这时pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1.由此得出：
(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1.
这种方法称辗转相减法。
实例说明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍减去3的4倍一定还是3的倍数，得3的3倍，然后用3的4倍减去3的3倍结果是3的1倍。因此(21，12)=3.
应用中贵在灵活。求解过程中，可随时截取判断。
例1 求1105和1547的最大公约数。
1547-1105=422， (1)
1105-422×2=211， (2)
422-221=211， (3)
211-211=0. (4)
没必要辗转相减到最后，由式子(2)知221与442成倍数关系，则(1105，1547)=221.
例2 求971和 601的最大公约数。
∵971-601=370， (1)
601-370=231， (2)
370-231=139， (3)
231-139=92， (4)
139-92=47， (5)
……
1-1=0，
∴(971，601)=1.
由(5)式可知(92，47)=1，便可断定
(971，601)=1.
例3 求27090、21672、11352和8127的最大公约数。
用这种方法约简分数、判断互质数等。例略。
(7)小数缩倍法
就是求两个数的最大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、3、4……，直到除得的商是较大数的约数为止，那个商就是所求的最大约数。
例如，求45和75的最大公约数。
45÷3=15，15|75，则(45，75)=15.
(8)差除法
如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。
已知a-b=c，且c|b(a>b).
求证(a，b)=c.
证明：由 c|b，设 b=cq.
于是 a=b+c=cq+c=c(q+1).
在a=c(q+1)和b=cq中，
因为(q+1，q)=1，
所以(a，b)=c.
例如，求91和98的最大公约数。
∵ 98-91=7， 7|91，
∴(91，98)=7.
(9)倍差除法
当出现找出的差不能整除小数时，把小数再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的数减去大数的差去除小数。
例4 求112与420的最大公约数。
112×4=448， 448-420=28，
28|112，
则(11，420)=28.
例5 求168与630的最大公约数。
168×4=672， 672-630=42，
42|168，
则(168，630)=42.
能够这样解的依据是什么呢?现证明如下(字母均为自然数)。
如果nb-a=c，c<B
那么(a，b)=c.
证明：设t是a，b的公约数，则t|a，t|b，
∴nb-a=c，且c<B
∵t|nb，t|c，
因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。
同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。即：
(a，b)=(b，c).
又∵c|b，
∴(a，b)=(b，c)=c.
或用差的从大到小的因数试除。
例6 求161和115的最大公约数。
161-115=46.
∵46 115，
而23|115，
∴(161，115)=23.
例7 求95和152的最大公约数。
∵ 95×2-152=38，
且38 95，
但19|95，
∴(95，152)=19.
这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。
例8 求217，62和93的最大公约数，
因为217-62-93=62，
且31|62、31|93，
所以(217，62，93)=31.
例9求 418、494和 589的最大公约数。
因为494-418=76，76 418，
418-(76×5)=38，38|76，
则(418，494)=38.
而589-(38×15)=19，19|38，
所以(418，494，589)=19.
例10 判断255和182是否互质。
255-182=73，73 182，
182-(73×2)=36，36 73，
而73-(36×2)=1，
所以(255，182)=1，即为互质数。
4862-2618=2244，
2618-2244=374，374|2244，
(10)分数法
把求最大公约数的两个数，写为真分数，逐次约成最简分数。原分数的分子(或分母)除以最简分数的分子(或分母)，商就是最大公约数。
例如，求24、30和36的最大公约数。
则(2430)=6.
则(6，36)=6.
所以(24，30，36)=6.
(11)用商法
例如，求64与48的最大公约数。
先把两个数写成除法的形式，大数作被除数，小数作除数(除数为大于1的自然数)。所得的商写成最简分数。
这两个数的最大公约数等于除数除以商的分母。即：48÷3=16，∴(64，48)=16.
如果，两个数相除，商为整数，那么，这两个数的最大公约数是除数。
这种方法也适用于求两个以上的数的最大公约数。例如，求36、30和20的最大公约数。
所以(36，30，20)=2.
(12)利用等式关系
利用(am，bm)=m(a，b)。
例如，求36与54的最大公约数。
(36，54)=(18×2，18×3)
=18(2，3)=18.
利用(an，bn)=(a，b)n.
例如，求64与216的最大公约数。
(64，216)=(43，63)
=(4，6)3=23=8.
利用若(a，b)=1，则(ac，b)=(c，b).
例1 求46与253的最大公约数。
(46，253)=(46，11×23)
=(46，23)=23.
例2 求12，286的最大公约数。
(12，286)=2(6，143)
=2(6，11×13)=2(6，13)=2.
例3 求245、315和560的最大公约数。
(245，315，560)=5(49，63，112)
=5(49， 63， 28×4)=5(49，63，28)
=5×7(7，9，4)=35.
(13)口诀查找法
就是用乘法口诀对照求最大公约数的那几个数，看哪个因数是求最大公约数的那几个数的约数，再进一步判断那个公约数是不是所求的最大公约数。
例如，求56和72的最大公约数。
看56与72，立即想到乘法口诀“七八五十六”与“八九七十二”。8是56与72的公约数，56的另一个约数7与72的另一个约数9成互质数，所以公约数8就是56与72的最大公约数。
(14)特征心算法
根据求最大公约数的那几个数所具有的能被某些数整除的特征确定。
例如，求24和30的最大公约数。
根据24和30能同时被2整除的特征，记下2;
再根据24和30还能同时被3整除，记下3;
由2乘3得6，24与30分别除以6的商分别是4与5，4与 5互质，则(24，30)=6.
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法（五）
文章摘要：使用正确的解题方法不但可以大大加快解题的速度而且可以提高解题的正确率。为此，数学频道编辑部整理了一些巧妙的解题方法，以便同学们更好的去学习这些知识。
巧判断能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273约的数
能被4约：末尾两位数是0或能被4约的数。例如36900，987136。
能被6约：既能被2约又能被3约的数。例如114，914860。
能被8约：末三位是0或能被8约的数。例如321000，5112。
能被9约：能被9整除的准则以下列的事实为基础，即在十进系统中，1以后带几个零的数(即10的任何次幂)在被9除时必然得出余数1。实际上，
第一项都是由9组成的，显然能被9整除。因此，10n被9除时必然得余数1。
然后，我们再看任意的数，例如4351。一千被9除得余数1，于是四千被9除得余数4。同样，三百被9除得余数3，五十被9除得余数5，还余下个位数1。因而，
4351=能被9整除的某一个数+4+3+5+1
如果“尾数”4+3+5+1(它是该数的各位数字之和)能被9整除，那么，整个数也能被9整除。因而可得到结论：如果某一个数的“各位数字的和”能被9整除，那么这个数也能被9整除。例如 111222，8973。
9的倍数除以9，其商有如下特点：
被除数是两位数，商是被除数尾数的补数，即补足10的数。
例如 63÷9=7，3的补数是7。
被除数是三位数，商首同尾互补。
例如
被除数是四位数，商的中间数字是被除数前两位数字之和。
被除数是五、六位数……原理同上。商的第二位数字是被除数前两位数字之和，第三位数字是被除数前三位数字的和……
能被7约∶70以内的两位数能否被7约一目了然，大于70的两位数只要减去70也就一清二楚了。
三位数，只要把百位数字乘以2加余下约数，和能被7约这三个数就能被7约。例如812，
(8×2+12)÷7=4。
百位数字乘以2，是因为100除以7得商14余2，即每个100余2，把它放到十位数里。
四位数，只要在百位数的计算方法上减去千位数字。因为1001能被7约，即1000要能被7约还缺1，有几个1000应减去几。例如1820，
(8×2+20-1)÷7=5。
能被11约：
奇偶位数差法：一个数奇位上的数字和与偶位上的数字和的差(大数减小数)是0或11的倍数的数。
例1 3986576
(6+5+8+3)-(7+6+9)
=22-22=0，
则11|3986576。
例2 9844
(9+4)-(8+4)
=13-12=1，
则 11 9844。
小节法：把判断数从个位起每两位分成一小节，最后的不足两位数也当作一节。只要看各小节之和是否有约数9或11。
例3 2879503
03+95+87+2
=187=11×17，
即11| 2879503。
例4 1214159265
65+92+15+14+12
=198=2×9×11，
即9|1214159265，11|1214159265。
能被7或11或13约的数一次性判断法：
那么要判别N能否被7或11或13约，只须判别A与B(或B与A)的差能否被7或11或13约。
证明：因为1000=7×11×13-1
10002=(7×11×13-1)2
=7×11×13的倍数+1
10003=7×11×13的倍数-1
……
例 5 987198719871
由 A-B=(871+198)-(719+987)
=1069-1706，
知 B-A=637=72×13。
即能被7和13约，不能被11约。
例6 21203547618
由(618+203)-(547+21)
=253=11×23，
知原数能被11约，不能被7或13约。
若其差为0，则这个数必能同时被7、11、13约。
例如 8008 8-8=0，
则8008÷7=1144，8008÷11=728，
8008÷13=616。
能被17约：
(1)末两位数与以前的数字组成的数的2倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(2)末三位数与以前的数字组成的数的3倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(3)末三位数的6倍与以前的数字组成的数之差数(或反过来)能被17约的数。
例如，31897168
由(1)得318971×2-68=637874，
重复四次得 170，17|170，
故知 17|31897168。
由(2)得 31897×3-168=95523，
523-95× 3=238，
17|238，故知17|31897168。
由(3)得31897-163×6=30889，
再由(2)889-30×3=799，
最后由(1)99-7×2=85，
17|85，则 17|31897168。
能被19约：
(1)末三位数的3倍与以前的数字组成的数的2倍之差(或反过来)能被19约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的9倍之差(或反过来)能被19约的数;
(3)末三位数的11倍与以前的数字组成的数之差(或反过来)能被19约的数。
例如，742050833
由(3)得742050-833×11=732887，
再由(1)887×3-732×2=1197，
最后由(2)97×2-11×9=95，
19|95，则19|742050833。
能被23约：
(1)末三位数的2倍与以前的数字组成的数之差能被23约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的7倍之差能被23约的数。
例如，542915
由(1)得915×2-542=1288，
288×2-1=575，
23|575，则23|542915。
由(2)5429×7-15×2=37973，
379×7-73×2=2507，
25×7-7×2=161，
23|161，则23|542915。
能被25约：
末两位数是00、25、50、75的自然数。
能被99约：
可同时被3与33或9与11约的自然数。
能被99各因数约：
把被判断的数从个位起，每两位分成一段，各段数之和能被各因数的某一因数约，这个数就能被这个因数约。
证明：设这个数 N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……
因为99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因数33、11、9、3约。
所以当(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3约时，N也能被这四个数约。当N是奇位数时，仍然成立。
例7 4326321
4+32+63+21=120，
3|120，则3|4326321。
例8 84564
8+45+64=117，
9|117，则 9|84564。
例9 493526
49+35+26=110，
11|110，则11|493526。
例10 18270945
18+27+09+45=99，
33|99，则33|18270945。
能被273约：
根据定理：若c|b、c a、则b a。
例如，判别272452654能否被273整除。
3|273，3 272452654，
则 273 272452654。
若判断36786360能否被24约，根据定理：
若b|a，c|a，(b，c)=1，
则其 bc|a。
因为24=3×8，(3，8)=1，
3|36786360，8|36786360，
所以 24|36786360。
同理，因为132=3×4×11，
(3，4，11)=1，
而3、4、11能分别约992786256，
则132|992786256。
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